Caso os pontos pertençam ao mesmo plano, determine a equação deste plano.
Considere os seguintes vetores de R^3 :
V1=(c 1 -1 2 ) ; V2=(c 3 0 -1 ) ; V3=(c -2 1 4 )
Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
(a) A=(1,1,1), B=(2,0,3), C=(0,2,-1), D=(3,-1,4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os quatro pontos
A=(1,1,1), B=(2,0,3), C=(0,2,-1), D=(3,-1,4)
são coplanares. Se forem, precisamos determinar a equação do plano que os contém. Vamos usar a condição de coplanaridade via produto misto (ou dependência linear de três vetores formados entre os pontos).

Passo 2

Escolhemos o ponto A como referência e construímos os vetores
AB=B-A=(2-1,,0-1,,3-1)=(1,-1,2),
AC=C-A=(0-1,,2-1,,-1-1)=(-1,1,-2),
AD=D-A=(3-1,,-1-1,,4-1)=(2,-2,3)

Passo 3

Calculamos o produto misto ABcdot(ACtimesAD). Note que AC=-1cdotAB, logo
ACtimesAD =-ABtimesAD Longrightarrow ABcdot(ACtimesAD) =-ABcdot(ABtimesAD)=0
Como o produto misto é zero, os vetores são linearmente dependentes e os pontos são coplanares.

Passo 4

Para obtermos um vetor normal n ao plano, podemos fazer o produto vetorial entre dois vetores independentes, por exemplo AB e AD:
n =ABtimesAD = i&j&k 1&-1&2 2&-2&3 =(1,1,0)

Passo 5

A equação do plano que passa por A=(1,1,1) e tem normal n=(1,1,0) é dada por
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0 Longrightarrow (1,1,0)cdot(x-1,y-1,z-1)=0
Longrightarrow (x-1)+(y-1)=0 Longrightarrow x+y-2=0

Resposta

VERDADEIRO. A equação do plano é
x + y - 2 = 0

Exercícios relacionados