Caso os pontos pertençam ao mesmo plano, determine a equação deste plano.
Considere os seguintes vetores de R^3 :
V1=(c 1 -1 2 ) ; V2=(c 3 0 -1 ) ; V3=(c -2 1 4 )
Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
(a) Os vetores V1, V2 e V3 são LI (linearmente independentes).
(b) O vetor V3 é uma combinação linear dos vetores V1 e V2.
(c) O vetor V1+V3 é paralelo ao vetor V2.
(d) O vetor V1 times V2 (produto vetorial) é ortogonal ao vetor V3.

Passo 1

O enunciado traz três vetores em R^3:
V1=1-12, V2=30-1, V3=-214,
e pede para responder VERDADEIRO ou FALSO sobre (a) independência linear, (b) combinação linear, (c) paralelismo e (d) ortogonalidade. Vamos usar determinante para independência, resolver um sistema para combinação, testar proporcionalidade para paralelismo e calcular produto vetorial e produto interno para ortogonalidade.

Passo 2

Para (a), vetores em R^3 são linearmente independentes se o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for diferente de zero. Montamos
M = 1 & 3 & -2 -1 & 0 & 1 2 & -1 & 4
Calculando
det(M) =1cdotdet0&1-1&4 -3cdotdet-1&12&4 -2cdotdet-1&02&-1 =1cdot(0+1)-3cdot(-6)-2cdot(1) =1+18-2=17neq0
Logo, V1,V2,V3 são linearmente independentes.

Passo 3

Para (b), testamos se existem
Isso leva ao sistema
Da segunda equação . Mas na terceira isso daria . Não há solução, então não é combinação de e .

Passo 4

Para (c), dizemos que vetores A e B são paralelos se existe escalar k tal que A=k,B. Aqui
V1+V3 =1-12 +-214 =-106
Se fosse paralelo a V2=(3,0,-1), teríamos um k tal que (-1,0,6)=k(3,0,-1). Da primeira componente k=-tfrac13, mas então a terceira daria 6=-tfrac13cdot(-1)=tfrac13, o que é falso. Logo não são paralelos.

Passo 5

Para (d), primeiro calculamos o produto vetorial
V1times V2 =1-12 times 30-1 =1cdot(-1)-2cdot0 2cdot3-1cdot(-1) 1cdot0-(-1)cdot3 =-173
Em seguida, o produto interno com V3=(-2,1,4) é
(-1)cdot(-2)+7cdot1+3cdot4=2+7+12=21neq0
Como o produto interno é não nulo, V1times V2 não é ortogonal a V3.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Falso
(d) Falso

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