Caso os pontos pertençam ao mesmo plano, determine a equação deste plano.
Considere os seguintes vetores de :
Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
(a) Os vetores V1, V2 e V3 são LI (linearmente independentes).
(b) O vetor V3 é uma combinação linear dos vetores V1 e V2.
(c) O vetor V1+V3 é paralelo ao vetor V2.
(d) O vetor V1 times V2 (produto vetorial) é ortogonal ao vetor V3.
Passo 1
O enunciado traz três vetores em R^3:
V1=1-12, V2=30-1, V3=-214,
e pede para responder VERDADEIRO ou FALSO sobre (a) independência linear, (b) combinação linear, (c) paralelismo e (d) ortogonalidade. Vamos usar determinante para independência, resolver um sistema para combinação, testar proporcionalidade para paralelismo e calcular produto vetorial e produto interno para ortogonalidade.
Passo 2
Para (a), vetores em R^3 são linearmente independentes se o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for diferente de zero. Montamos
Da segunda equação dá . Mas na terceira isso daria . Não há solução, então não é combinação de e .
Passo 4
Para (c), dizemos que vetores A e B são paralelos se existe escalar k tal que A=k,B. Aqui
V1+V3 =1-12 +-214 =-106
Se fosse paralelo a V2=(3,0,-1), teríamos um k tal que (-1,0,6)=k(3,0,-1). Da primeira componente k=-tfrac13, mas então a terceira daria 6=-tfrac13cdot(-1)=tfrac13, o que é falso. Logo não são paralelos.
Passo 5
Para (d), primeiro calculamos o produto vetorial
V1times V2 =1-12 times 30-1 =1cdot(-1)-2cdot0 2cdot3-1cdot(-1) 1cdot0-(-1)cdot3 =-173
Em seguida, o produto interno com V3=(-2,1,4) é
(-1)cdot(-2)+7cdot1+3cdot4=2+7+12=21neq0
Como o produto interno é não nulo, V1times V2 não é ortogonal a V3.