Verifique se os pontos dados pertencem a um mesmo plano.
(a) A=(1,1,1), B=(2,0,3), C=(0,2,-1), D=(3,-1,4).
(b) A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1), D=(2,2,2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se quatro pontos em R^3 pertencem a um mesmo plano.
Teoria útil: quatro pontos A,B,C,D são coplanares se, e somente se, o produto misto
ABcdotl(ACtimesADr)
for zero.

Passo 2

Caso (a): A=(1,1,1), B=(2,0,3), C=(0,2,-1), D=(3,-1,4).
Calculemos os vetores
AB = (2-1,;0-1,;3-1) = (1,-1,2),
AC = (0-1,;2-1,;-1-1) = (-1,1,-2),
AD = (3-1,;-1-1,;4-1) = (2,-2,3)
Note que AB = -,AC, ou seja, dois vetores são proporcionais. Logo o produto misto é
ABcdot(ACtimesAD) = 0
porque AB e AC são linearmente dependentes. Isso implica que os quatro pontos são coplanares.

Passo 3

Caso (b): A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1), D=(2,2,2).
Formemos
AB = (-1,1,0), AC = (-1,0,1), AD = (1,2,2)
O produto misto é o determinante
det -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 1 & 2 & 2 = (-1)l(0cdot2 - 1cdot2r) -1l((-1)cdot2 - 1cdot1r) = 2 + 3 = 5neq0
Como o produto misto é diferente de zero, os pontos não são coplanares.

Resposta

(a) Os pontos são coplanares.
(b) Os pontos não são coplanares.

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