Verifique se os pontos dados pertencem a um mesmo plano.
(a) .
(b) .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se quatro pontos em pertencem a um mesmo plano.
Teoria útil: quatro pontos são coplanares se, e somente se, o produto misto
for zero.
Passo 2
Caso (a): A=(1,1,1), B=(2,0,3), C=(0,2,-1), D=(3,-1,4).
Calculemos os vetores
AB = (2-1,;0-1,;3-1) = (1,-1,2),
AC = (0-1,;2-1,;-1-1) = (-1,1,-2),
AD = (3-1,;-1-1,;4-1) = (2,-2,3)
Note que AB = -,AC, ou seja, dois vetores são proporcionais. Logo o produto misto é
ABcdot(ACtimesAD) = 0
porque AB e AC são linearmente dependentes. Isso implica que os quatro pontos são coplanares.
Passo 3
Caso (b): A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1), D=(2,2,2).
Formemos