No caso de uma roda que gira com aceleração angular constante em torno de um eixo que passa pelo centro da roda, a razão entre a velocidade de um ponto da borda e a velocidade de um ponto a meio caminho entre o centro e a borda é 4

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma roda girando com aceleração angular constante (α). A gente quer mostrar que, depois de girar um mesmo ângulo θ, a razão entre as velocidades lineares ao final do movimento de um ponto da borda (raio R) e de um ponto a meio caminho (raio R/2) é 4.
Conteúdo envolvido:
  • Equação de Torricelli para movimento retilíneo uniformemente variado:
    v² = v₀² + 2·a·Δs
  • Relação entre aceleração tangencial e aceleração angular:
    aₜ = α·r
  • Deslocamento linear ao percorrer ângulo θ:
    Δs = r·θ

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a velocidade final de um ponto a raio genérico r, usando Torricelli no percurso angular:
  1. Aceleração tangencial aₜ = α·r.
  2. Deslocamento linear Δs = r·θ.
  3. Partindo do repouso (v₀ = 0), temos
    v² = 0 + 2·(α·r)·(r·θ) = 2·α·r²·θ.

Passo 3

Agora calculamos separadamente para r₁ = R (borda) e r₂ = R/2 (meio):
  • Para o ponto da borda:
    v₁² = 2·α·R²·θ
  • Para o ponto a meio caminho:
    v₂² = 2·α·(R/2)²·θ = 2·α·(R²/4)·θ = (2·α·R²·θ)/4

Passo 4

Fazemos a razão entre os quadrados das velocidades:
v₁² / v₂² = [2·α·R²·θ] / [(2·α·R²·θ)/4] = 1 ÷ (1/4) = 4

Resposta

A razão entre as velocidades lineares (na forma de v₁²/v₂²) é 4.

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