O módulo da aceleração de um ponto de uma roda que está girando é multiplicado por 4, quando o módulo da velocidade angular é multiplicado por 4 e a aceleração angular não muda.

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: temos um ponto numa roda girando com velocidade angular ω e aceleração angular α. Se eu quadruplicar ω (ou seja, passar de ω₁ para ω₂=4·ω₁) e mantiver α igual, como muda o módulo da aceleração total daquele ponto?
Conteúdo: Cinemática rotacional – componentes da aceleração (centrípeta e tangencial).
O que vamos usar:
  1. aceleração centrípeta: a_c = ω²·r
  2. aceleração tangencial: a_t = α·r
  3. aceleração total: a = √(a_c² + a_t²)

Passo 2

Primeiro a teoria:
  • Aceleração centrípeta (ou normal) aparece porque o ponto descreve um círculo de raio r, e vale ac = omega^2,r,
    - Aceleração tangencial aparece se a velocidade angular está mudando (há α) e vale
    at = alpha,r,
Como são perpendiculares, a aceleração total é
a = raiz,ac^2 + at^2,;=;raiz(omega^2r)^2 + (alpha,r)^2,

Passo 3

Agora calculamos a aceleração inicial (com ω₁):
$$a_1 = \sqrt{\bigl(\omega_12,r\bigr)2 + (\alpha,r)^2}
     = \sqrt{\omega_1^4\,r^2 + \alpha^2\,r^2}\;. $$

Passo 4

Em seguida, a aceleração depois de quadruplicar ω (ω₂ = 4 ω₁), mantendo α e r:
a2 = raizl(omega2^2,rr)^2 + (alpha,r)^2 = raizl((4omega1)^2,rr)^2 + (alpha,r)^2 = raizl(16,omega1^2,rr)^2 + (alpha,r)^2 = raiz256,omega1^4,r^2 + alpha^2,r^2,

Passo 5

Para saber o fator de mudança, calculamos a razão:
a2a1 = raiz256,omega1^4,r^2 + alpha^2,r^2 raiz,omega1^4,r^2 + alpha^2,r^2, = raiz256,omega1^4,r^2 + alpha^2,r^2 omega1^4,r^2 + alpha^2,r^2,
Esse é o resultado geral: não é simplesmente 4 nem 16, depende da relação entre ω₁²r (a_c) e αr (a_t).

Resposta

O módulo da aceleração passa de
a1 = raizomega1^4,r^2 + alpha^2,r^2
para
a2 = raiz256,omega1^4,r^2 + alpha^2,r^2,
O fator de multiplicação é
a2a1 = raiz256,omega1^4,r^2 + alpha^2,r^2 omega1^4,r^2 + alpha^2,r^2,

Exercícios relacionados