Caso a seja um número real, verifica-se que a série de Fourier de
f(x)=cc e^a x, & para -pi
é dada por
senh(pi a)pi(1a+2 sumn=1^infty (-1)^na^2+n^2(a cos (n x)-n sen(n x))) cdot ^1
Com a série supracitada, obtenha os valores das séries seguintes:
sumn=1^infty 1a^2+n^2 e sumn=-infty^infty 1a^2+n^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função periódica de período 2π definida por
f(x)=e^ax,&-pi
cuja série de Fourier vale
sinh(pi a)pil(1a+2sumn=1^infty(-1)^na^2+n^2l(acos(nx)-nsin(nx)r)r)
Queremos extrair as somas
sumn=1^infty1a^2+n^2 e
sumn=-infty^infty1a^2+n^2.

Passo 2

Para encontrar
sumn=1^infty1a^2+n^2
vamos avaliar a série de Fourier em um ponto onde simplifique. Em
x=pi
temos
sin(npi)=0
e
cos(npi)=(-1)^n.
Além disso, na descontinuidade em x=pi o valor da soma da série é a média dos limites laterais:
f(pi^-)+f(-pi^+)2=e^api+e^-api2=cosh(pi a)
Logo a série em x=pi vira
sinh(pi a)pil(1a+2sumn=1^infty(-1)^na^2+n^2,a,(-1)^nr)=cosh(pi a)
Como (-1)^n(-1)^n=1), isso simplifica para
sinh(pi a)pil(1a+2asumn=1^infty1a^2+n^2r)=cosh(pi a)

Passo 3

Agora isolamos
sumn=1^inftytfrac1a^2+n^2:
1a+2asumn=1^infty1a^2+n^2=picosh(pi a)sinh(pi a)=picoth(pi a)
Daí
2asumn=1^infty1a^2+n^2=picoth(pi a)-1a
e finalmente
sumn=1^infty1a^2+n^2=picoth(pi a)-tfrac1a2a

Passo 4

Para obter
sumn=-infty^inftytfrac1a^2+n^2
uso a simetria:
sumn=-infty^infty1a^2+n^2=1a^2+2sumn=1^infty1a^2+n^2
Substituindo o valor que achamos:
sumn=-infty^infty1a^2+n^2=1a^2+2cdotpicoth(pi a)-tfrac1a2a=picoth(pi a)a

Resposta

sumn=1^infty1a^2+n^2=picoth(pi a)-tfrac1a2aesumn=-infty^infty1a^2+n^2=picoth(pi a)a

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