Para 0, o valor da integral
integral0^2 pi d theta1+a sen theta
é igual ao comprimento da circunferência de raio
1raiz1-a^2
Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique corretamente a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se integral0^2pidtheta1+asintheta para 0 é igual ao comprimento da circunferência de raio 1/raiz1-a^2. Vamos usar conteúdo de integrais de funções racionais de sintheta e a substituição de Weierstrass (tangente do semienângulo).

Passo 2

Aplicamos a substituição t=tan(theta/2). Lembrando que
sintheta=2t1+t^2,
e
dtheta=2,dt1+t^2

Passo 3

Substituindo na integral e ajustando limites de theta=0to2pi (que vira t indo de -infty a +infty), obtemos:
integral0^2pidtheta1+asintheta=integral-infty^infty2,dtt^2+2a t+1=integral-infty^infty2,dt(t+a)^2+(1-a^2)

Passo 4

Usamos a fórmula padrão
integral-infty^inftyduu^2+alpha^2=pialpha,
com u=t+a e alpha=raiz1-a^2. Logo
integral0^2pidtheta1+asintheta=2piraiz1-a^2

Resposta

Verdadeira. O valor da integral é 2pi/raiz1-a^2, que coincide com o comprimento de circunferência de raio 1/raiz1-a^2.

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