A integral
é menor que
, igual a
ou maior que
? Justifique corretamente a sua resposta.
Passo 1
A questão pede pra gente comparar a integral
com
Passo 2
Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais. Queremos escrever
$$\frac{x{2}}{(x{2}+2)(x^{2}+3)} = \frac{A}{x^{2}+2} + \frac{B}{x^{2}+3}.
$$
Dessa forma, resolvendo, vem e
.
Dessa forma, resolvendo, vem
Passo 3
Agora a integral vira
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x{2}}{x{4}+5x^{2}+6},dx = \int_{-\infty}^{\infty} \Bigl(-2\frac{1}{x^{2}+2} + 3\frac{1}{x^{2}+3}\Bigr)dx.
Passo 4
Aplicando o resultado conhecido
temos
$$ -2 \cdot \frac{\pi}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{\pi}{\sqrt{3}} = \pi\Bigl(-2/\sqrt{2} + 3/\sqrt{3}\Bigr) = \pi\bigl(-\sqrt{2} + \sqrt{3}\bigr).
$$
Passo 5
Como
e
, a diferença
é menor que 1. Logo
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x{2}}{x{4}+5x^{2}+6},dx = \pi\bigl(\sqrt{3}-\sqrt{2}\bigr) < \pi.
$$
Resposta
A integral é menor que π.