A integral
integral-infty^infty x^2x^4+5 x^2+6 d x
é menor que pi, igual a pi ou maior que pi? Justifique corretamente a sua resposta.

Passo 1

A questão pede pra gente comparar a integral
integral-infty^infty x^2x^4+5x^2+6,dx
com pi. O conteúdo principal é integração de função racional e vamos precisar de frações parciais e do resultado padrão
integral-infty^infty dxx^2+a^2 = pia

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais. Queremos escrever
$$\frac{x{2}}{(x{2}+2)(x^{2}+3)} = \frac{A}{x^{2}+2} + \frac{B}{x^{2}+3}.
x^2(x^2+2)(x^2+3) = Ax^2+2 + Bx^2+3 x^{2} = A(x^{2}+3) + B(x^{2}+2) = (A+B)x^{2} + (3A+2B).
(x^2+2)(x^2+3)
x^2 = A(x^2+3) + B(x^2+2) = (A+B)x^2 + (3A+2B)
$$
Dessa forma, resolvendo, vem A + B = 1, 3A + 2B = 0 e B = 3.

Passo 3

Agora a integral vira
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x{2}}{x{4}+5x^{2}+6},dx = \int_{-\infty}^{\infty} \Bigl(-2\frac{1}{x^{2}+2} + 3\frac{1}{x^{2}+3}\Bigr)dx.
integral-infty^infty x^2x^4+5x^2+6,dx = integral-infty^infty l(-21x^2+2 + 31x^2+3r)dx = -2\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+2} + 3\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^{2}+3}.$$

Passo 4

Aplicando o resultado conhecido
integral-infty^infty dxx^2+a^2 = pia,
temos
$$ -2 \cdot \frac{\pi}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{\pi}{\sqrt{3}} = \pi\Bigl(-2/\sqrt{2} + 3/\sqrt{3}\Bigr) = \pi\bigl(-\sqrt{2} + \sqrt{3}\bigr).
$$

Passo 5

Como raiz3approx1,732 e raiz2approx1,414, a diferença raiz3-raiz2approx0,318 é menor que 1. Logo
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x{2}}{x{4}+5x^{2}+6},dx = \pi\bigl(\sqrt{3}-\sqrt{2}\bigr) < \pi.
$$

Resposta

A integral é menor que π.

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