Caso
seja um número real, verifica-se que a série de Fourier de
é dada por
Com a série supracitada, obtenha os valores das séries seguintes:
e
;
Passo 1
A questão dá a série de Fourier de f(x)=e^{ax} em (-π,π) periódica e pede duas somas infinitas:
e
. Vamos usar o fato de que a série converge para f(x) onde f é contínua.
Passo 2
Como f é contínua em x=0, podemos avaliar a série de Fourier nesse ponto. Para x=0 temos: cos(n·0)=1 e sen(n·0)=0. Então
Passo 3
Isso simplifica para
Passo 4
Isolando S=
: multiplicamos ambos os lados por
e depois resolvemos para S:
Passo 5
Logo
Passo 6
Para a soma de n de –∞ a ∞, note que o termo n=0 é 1/a^2 e os demais aparecem em pares ±n, então
Passo 7
Substituindo S, obtemos