Caso a seja um número real, verifica-se que a série de Fourier de
f(x)=cc e^a x, & para -pi
é dada por
senh(pi a)pi(1a+2 sumn=1^infty (-1)^na^2+n^2(a cos (n x)-n sen(n x))) cdot ^1
Com a série supracitada, obtenha os valores das séries seguintes:
sumn=1^infty (-1)^na^2+n^2 e sumn=-infty^infty (-1)^na^2+n^2;

Passo 1

A questão dá a série de Fourier de f(x)=e^{ax} em (-π,π) periódica e pede duas somas infinitas: S=sumn=1^infty (-1)^na^2+n^2 e T=sumn=-infty^infty (-1)^na^2+n^2. Vamos usar o fato de que a série converge para f(x) onde f é contínua.

Passo 2

Como f é contínua em x=0, podemos avaliar a série de Fourier nesse ponto. Para x=0 temos: cos(n·0)=1 e sen(n·0)=0. Então
f(0)=e^acdot0=1=sinh(pi a)pil(1a+2sumn=1^infty(-1)^na^2+n^2,(acdot1- ncdot0)r)

Passo 3

Isso simplifica para
1=sinh(pi a)pil(1a+2asumn=1^infty(-1)^na^2+n^2r)

Passo 4

Isolando S= sumn=1^infty(-1)^na^2+n^2: multiplicamos ambos os lados por pi/sinh(pi a) e depois resolvemos para S:
pisinh(pi a)=1a+2aSLongrightarrow2aS=pisinh(pi a)-1a

Passo 5

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S=sumn=1^infty(-1)^na^2+n^2=12al(pisinh(pi a)-1ar)=pi2asinh(pi a)-12a^2

Passo 6

Para a soma de n de –∞ a ∞, note que o termo n=0 é 1/a^2 e os demais aparecem em pares ±n, então
T=sumn=-infty^infty(-1)^na^2+n^2=1a^2+2sumn=1^infty(-1)^na^2+n^2=1a^2+2S

Passo 7

Substituindo S, obtemos
T=1a^2+2l(pi2asinh(pi a)-12a^2r)=piasinh(pi a)

Resposta

sumn=1^infty(-1)^na^2+n^2=pi2asinh(pi a)-12a^2,sumn=-infty^infty(-1)^na^2+n^2=piasinh(pi a).

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