Seja h definida por
h(x)= 4-x^2 & se x <= 1 2+x^2 & se 1
Faça um esboço do gráfico de h.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, ou seja, a regra muda dependendo do valor de $ x $. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função $ h(x) $, que tem duas partes diferentes:
x
Para resolver isso, vamos precisar saber como desenhar funções quadráticas e entender como elas se comportam em diferentes intervalos de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando $ x \leq 1 $:
x <= 1
Essa é uma parábola que abre para baixo, porque o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo (-1). O termo constante $ 4 $ significa que o vértice da parábola está no ponto mais alto. Para desenhar essa parte, vamos identificar alguns pontos:
  • Quando $ x = 0 $:
h(x) = 4 - x^2
Então, temos o ponto $ (0, 4) $.
  • Quando $ x = 1 $:
x^2
Então, temos o ponto $ (1, 3) $.
Esses pontos nos ajudam a desenhar a parábola dessa parte da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função para $ x > 1 $:
x > 1
Essa é uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo (+1). O termo constante $ 2 $ desloca a parábola para cima no eixo $ y $. Vamos encontrar alguns pontos para essa parte:
  • Quando $ x = 1 $:
h(x) = 2 + x^2
Então, o ponto $ (1, 3) $ também pertence a essa parte da função.
  • Quando $ x = 2 $:
x^2
Então, temos o ponto $ (2, 6) $.
Esses pontos nos ajudam a desenhar a parábola dessa segunda parte.

Passo 4

Agora que temos os pontos principais para cada parte da função, vamos juntar tudo:
  • Para $ x \leq 1 $, desenhamos uma parábola que abre para baixo passando por $ (0, 4) $ e $ (1, 3) $.
  • Para $ x > 1 $, desenhamos uma parábola que abre para cima passando por $ (1, 3) $ e $ (2, 6) $.
O ponto $ (1, 3) $ é onde as duas partes da função se encontram, fazendo a transição de uma parábola para a outra.

Resposta

O gráfico de $ h(x) $ é composto por duas parábolas: a primeira, para $ x \leq 1 $, abre para baixo e passa pelos pontos $ (0, 4) $ e $ (1, 3) $. A segunda, para $ x > 1 $, abre para cima e passa pelos pontos $ (1, 3) $ e $ (2, 6) $. As duas partes se encontram no ponto $ (1, 3) $, formando o esboço completo do gráfico da função $ h(x) $.

Exercícios relacionados