Seja
definida por
Faça um esboço do gráfico de
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, ou seja, a regra muda dependendo do valor de $ x $. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função $ h(x) $, que tem duas partes diferentes:
Para resolver isso, vamos precisar saber como desenhar funções quadráticas e entender como elas se comportam em diferentes intervalos de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando $ x \leq 1 $:
Essa é uma parábola que abre para baixo, porque o coeficiente de $ x^{2} $ é negativo (-1). O termo constante $ 4 $ significa que o vértice da parábola está no ponto mais alto. Para desenhar essa parte, vamos identificar alguns pontos:
- Quando $ x = 0 $:
Então, temos o ponto $ (0, 4) $.
- Quando $ x = 1 $:
Então, temos o ponto $ (1, 3) $.
Esses pontos nos ajudam a desenhar a parábola dessa parte da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função para $ x > 1 $:
Essa é uma parábola que abre para cima, já que o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo (+1). O termo constante $ 2 $ desloca a parábola para cima no eixo $ y $. Vamos encontrar alguns pontos para essa parte:
- Quando $ x = 1 $:
Então, o ponto $ (1, 3) $ também pertence a essa parte da função.
- Quando $ x = 2 $:
Então, temos o ponto $ (2, 6) $.
Esses pontos nos ajudam a desenhar a parábola dessa segunda parte.
Passo 4
Agora que temos os pontos principais para cada parte da função, vamos juntar tudo:
- Para $ x \leq 1 $, desenhamos uma parábola que abre para baixo passando por $ (0, 4) $ e $ (1, 3) $.
- Para $ x > 1 $, desenhamos uma parábola que abre para cima passando por $ (1, 3) $ e $ (2, 6) $.
O ponto $ (1, 3) $ é onde as duas partes da função se encontram, fazendo a transição de uma parábola para a outra.
Resposta
O gráfico de $ h(x) $ é composto por duas parábolas: a primeira, para $ x \leq 1 $, abre para baixo e passa pelos pontos $ (0, 4) $ e $ (1, 3) $. A segunda, para $ x > 1 $, abre para cima e passa pelos pontos $ (1, 3) $ e $ (2, 6) $. As duas partes se encontram no ponto $ (1, 3) $, formando o esboço completo do gráfico da função $ h(x) $.