Para o caso da transferência de calor associada com a colocação de aletas retangulares de alumínio ( \mathrm{k}=200 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) em uma placa plana (temperatura de 120^{\circ} \mathrm{C} ) de \mathbf{1 m} de largura. As aletas têm \mathbf{5 0} \mathbf{m m} de altura (comprimento) e \mathbf{0 , 5 ~ m m} de espessura e a densidade de colocação é \mathbf{2 5 0} aletas por unidade de comprimento da placa (as aletas são igualmente espaçadas e ocupam toda a largura da placa). O coeficiente de película do ar (temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} ) sobre a placa sem aletas é 40 \mathbf{W} / \mathbf{m}^{2} \mathbf{K}, enquanto o coeficiente de película resultante da colocação de aletas é \mathbf{3 0 ~ W} / \mathbf{m}^{2} \mathbf{K}. Responda o que se pede:
a) Ache o valor do perímetro, área de condução e área de convecção de uma aleta.
(b) Ache o valor da área ocupada por todas as aletas na superfície primária.
Q) Ache o valor do parâmetro \mathbf{m} que aparece na EDO da distribuição de temperatura ao longo de uma aleta, i.e. \left(\mathbf{d}^{\mathbf{2}} \mathbf{t} / \mathbf{d x}^{\mathbf{2}}\right)-\mathbf{m}^{\mathbf{2}} \mathbf{t}=\mathbf{0}.
0 ad) Ache o valor da temperatura na extremidade da aleta em contato com o ar para uma aleta isolada na extremidade e uma aleta com fuga na extremidade.

Passo 1

O enunciado pede os seguintes itens e fornece estes dados (vou listar tudo de forma clara para não nos perder):
  • Perguntas:
    • (a) Para UMA aleta retangular: achar o perímetro da seção transversal, a área de condução (área transversal pelo qual o calor é conduzido ao longo da aleta) e a área de convecção (área de superfície exposta ao ar que troca calor por convecção).
    • (b) Achar a área ocupada por todas as aletas na superfície primária.
    • (c) Calcular o parâmetro \;m\; que aparece na EDO \;d^{2}t/dx^{2}-m^{2}t=0.
    • (d) Calcular a temperatura na extremidade da aleta (em contato com o ar) para os dois casos: aleta isolada na extremidade e aleta com convecção na extremidade.
  • Dados fornecidos (peguei todos os valores do enunciado/figura):
    • condutividade térmica do alumínio: \;k=200\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • temperatura da base (placa): \;T_{b}=120^{\circ}\mathrm{C}.
    • temperatura do ar (ambiente): \;T_{\infty}=20^{\circ}\mathrm{C}.
    • largura da placa: \;W=1{,}0\\ \mathrm{m}.
    • comprimento (altura) da aleta: \;L=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
    • espessura da aleta: \;e=0{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0005\\ \mathrm{m}.
    • densidade de colocação: \;250 aletas por unidade de comprimento da placa (interpreto como 250 aletas por metro ao longo da largura de 1\\ \mathrm{m}).
    • coeficiente de película resultante com aletas: \;h=30\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Observações úteis que vamos usar:
    • vamos tratar cada aleta associada a uma “faixa” da placa igual ao passo (pitch) entre centros das aletas; como há 250 aletas por metro, o passo \;s=1/250\\ \mathrm{m}.
    • temperatura excessa que entra na EDO é \;t(x)=T(x)-T_{\infty} e a temperatura base em excesso é \;t_{b}=T_{b}-T_{\infty}=100\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Definimos a geometria e as fórmulas que vamos usar (explicando cada uma):
  • Passo (geometria por aleta):
    • número total de aletas na largura \;W é \;N = 250\cdot W = 250\cdot 1 = 250.
    • passo (largura atribuída a cada aleta, ou “controle” por aleta): \;w = \dfrac{W}{N} = \dfrac{1}{250} = 0{,}004\\ \mathrm{m}. Explicação: ao analisar “por aleta” é comum atribuir a cada aleta a região da placa entre ela e a aleta vizinha — essa largura é \;w.
  • Área de condução (seção transversal pela qual o calor entra na aleta): é a área da seção normal ao eixo x (comprimento da aleta). Para a aleta rectangular com espessura \;e e comprimento lateral (no sentido da placa) igual a \;w, temos A_{c} = e\cdot w.Interpretação: é a área através da qual o fluxo conduzido inicial entra na aleta.
  • Perímetro de convecção da seção transversal: é o perímetro da seção que está em contato com o fluido (ar) por unidade do comprimento atribuído \;w. A seção transversal tem dimensões \;w e \;e, logo o perímetro é P = 2\,(w+e).Observação: esse perímetro multiplica L para dar a área lateral exposta.
  • Área de convecção total de uma aleta: soma da área lateral (perímetro vezes comprimento) mais a área da ponta (caso consideremos a ponta): A_{\text{conv}} = P\cdot L + A_{\text{ponta}},\qquad A_{\text{ponta}} = w\cdot e.Explicação: as duas faces grandes da aleta (topo e fundo) estão incluídas porque P incorpora ambos; a ponta tem área w\cdot e.
  • Parâmetro \;m: vem da EDO de equilíbrio de energia por unidade de comprimento e é dado por m^{2}=\frac{h\,P}{k\,A_{c}}.Interpretação: \;m tem dimensão \mathrm{m^{-1}} e quantifica a relação entre convecção lateral e condução axial; aparece naturalmente ao escrever a EDO \;d^{2}t/dx^{2}-m^{2}t=0.
  • Condições de contorno para a solução:
    • base (em x=0): \;t(0)=t_{b}=T_{b}-T_{\infty}=100\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • extremidade x=L: caso 1 (isolada): \;dt/dx(L)=0. Caso 2 (conveção na ponta): \;-k A_{c}\,dt/dx(L)=h\,A_{\text{ponta}}\,t(L).
Vou usar as fórmulas padrão de solução da EDO constante: solução geral
t(x)=C_{1}\operatorname{cosh}(mx)+C_{2}\operatorname{sinh}(mx).
Com as condições obtemos fórmulas fechadas para t(L) em cada caso (vou derivar na prática no passo das contas).

Passo 3

Cálculo numérico das quantidades geométricas pedidas (parte a).
  • calcular w: w=\dfrac{1}{250}=0{,}004\\ \mathrm{m}.
  • calcular A_{c}: A_{c}=e\cdot w=(0{,}0005)\cdot(0{,}004)=2{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.Explicação numérica: multiplicamos espessura por largura atribuída à aleta.
  • calcular P: P=2\,(w+e)=2\,(0{,}004+0{,}0005)=2\cdot 0{,}0045=0{,}009\\ \mathrm{m}.Interpretação: é o perímetro da seção transversal exposto ao ar (ambas as faces grandes + bordos finos).
  • calcular A_{\text{ponta}}: A_{\text{ponta}}=w\cdot e=(0{,}004)\cdot(0{,}0005)=2{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.Observação: neste caso A_{\text{ponta}}=A_{c} numericamente, porque ambas são w\cdot e.
  • calcular A_{\text{conv}} (área de convecção total de uma aleta, incluindo lateral e ponta): A_{\text{conv}}=P\cdot L + A_{\text{ponta}}=0{,}009\cdot 0{,}05 + 2{,}0\times 10^{-6}=0{,}00045 + 0{,}000002=4{,}52\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.Interpretação: essa é a área pela qual uma aleta troca calor com o ar (ambiente).
Resumo intermediário (valores para uma aleta):
  • \;P=0{,}009\\ \mathrm{m}.
  • \;A_{c}=2{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • \;A_{\text{conv}}=4{,}52\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a área ocupada por todas as aletas na superfície primária (parte b) — explicação e conta:
  • a área de contato (ocupação) de cada aleta sobre a placa (área da base que “toca”/ocupa a placa) é a mesma que a área de seção transversal utilizada na condução pela aleta se tomarmos a largura atribuída w. Logo por aleta a área de ocupação é A_{c}=e\cdot w.
  • soma total de todas as aletas (sobre toda a largura W) é: A_{\text{total, base}} = N\cdot A_{c}=N\cdot (e\cdot w).Mas como N\cdot w = W, isso simplifica para A_{\text{total, base}} = e\cdot W.
  • numérico: A_{\text{total, base}}=0{,}0005\cdot 1 =5{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Interpretação: mesmo com muitas aletas, a área total de contato sobre a superfície primária é apenas a espessura multiplicada pela largura total da placa.

Passo 5

Calcular o parâmetro \;m (parte c), com explicação:
  • usamos a fórmula m^{2}=\frac{h\,P}{k\,A_{c}}.Explicação: deriva-se do balanço de energia em um pequeno elemento da aleta (condução axial que entra menos a que sai igual à perda lateral por convecção); ao linearizar obtemos a EDO com esse parâmetro.
  • valores numéricos: h\,P = 30\cdot 0{,}009 = 0{,}27\\ \mathrm{W/m^{2}\cdot m}=0{,}27\\ \mathrm{W/m},
k\,A_{c}=200\cdot 2{,}0\times 10^{-6}=4{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{W/K}.
Então
m^{2}=\dfrac{0{,}27}{4{,}0\times 10^{-4}}=675,
m=\sqrt{675}\approx 25{,}98\\ \mathrm{m^{-1}}.
Interpretação: \;m\approx 26\\ \mathrm{m^{-1}} significa que a escala característica de decaimento da temperatura ao longo da aleta é 1/m\approx 0{,}0385\\ \mathrm{m} (ou seja, poucos centímetros, que faz sentido para aleta de 5 cm).

Passo 6

Calcular a temperatura na extremidade da aleta (parte d) — derivação das fórmulas e cálculos numéricos:
  • definimos t(x)=T(x)-T_{\infty} e t_{b}=t(0)=T_{b}-T_{\infty}=120-20=100\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • solução geral da EDO constante: t(x)=C_{1}\operatorname{cosh}(mx)+C_{2}\operatorname{sinh}(mx).Impondo t(0)=t_{b} C_{1}=t_{b}.
  • caso 1 — extremidade isolada: condição \;dt/dx(L)=0.
    • com C_{1}=t_{b} encontra-se a solução conhecida t(x)=t_{b}\,\frac{\operatorname{cosh}\bigl(m(L-x)\bigr)}{\operatorname{cosh}(mL)}.Portanto a temperatura na ponta ( x=L) é t_{\text{isol}}(L)=t_{b}\,\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)}.
  • caso 2 — extremidade com convecção (fuga): condição -kA_{c}\frac{dt}{dx}\Big|_{x=L}=hA_{\text{ponta}}\,t(L).Para seção constante isso conduz à fórmula padrão (ver dedução curta no passo 2), que resulta em t_{\text{conv}}(L)=\frac{t_{b}}{\operatorname{cosh}(mL)+M\,\operatorname{sinh}(mL)},onde M=\frac{h\,A_{\text{ponta}}}{k\,A_{c}\,m}.Observação: se A_{\text{ponta}}=A_{c} (como é o nosso caso), então M=\dfrac{h}{k\,m}.
  • agora os cálculos numéricos:
    • já temos m\approx 25{,}98\\ \mathrm{m^{-1}} e L=0{,}05\\ \mathrm{m}, então mL=25{,}98\cdot 0{,}05\approx 1{,}299.
    • calcular \operatorname{cosh}(mL) e \operatorname{sinh}(mL): \operatorname{cosh}(1{,}299)\approx 1{,}9698,\qquad \operatorname{sinh}(1{,}299)\approx 1{,}6972.
    • caso isolado: \frac{t_{\text{isol}}(L)}{t_{b}}=\frac{1}{\operatorname{cosh}(mL)}=\frac{1}{1{,}9698}\approx 0{,}5078.Logo em temperatura absoluta: T_{\text{isol}}(L)=T_{\infty}+t_{\text{isol}}(L)=20 + 100\cdot 0{,}5078 \approx 20 + 50{,}78 = 70{,}78\\ ^\circ\mathrm{C}.
    • caso com convecção na ponta: M=\frac{h}{k\,m}=\frac{30}{200\cdot 25{,}98}\approx 0{,}005772.
\operatorname{cosh}(mL)+M\,\operatorname{sinh}(mL)\approx 1{,}9698 + 0{,}005772\cdot 1{,}6972 \approx 1{,}9698 + 0{,}00979 \approx 1{,}9796.
\frac{t_{\text{conv}}(L)}{t_{b}}=\frac{1}{1{,}9796}\approx 0{,}504.
T_{\text{conv}}(L)=20 + 100\cdot 0{,}504 \approx 20 + 50{,}4 = 70{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • observação física: as duas temperaturas são muito próximas (cerca de 70{,}8^\circ\mathrm{C} e 70{,}4^\circ\mathrm{C}), porque a área da ponta é muito pequena comparada à área lateral; por isso o efeito da convecção da ponta altera pouco o resultado.

Resposta

(a) \;P=0{,}009\\ \mathrm{m},\quad A_{c}=2{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}},\quad A_{\text{conv}}=4{,}52\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.\n
(b) \;A_{\text{total, base}}=5{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.\n
(c) \;m\approx 25{,}98\\ \mathrm{m^{-1}}.\n
(d) \;T_{\text{ponta, isolada}}\approx 70{,}78\\ ^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{ponta, convecção}}\approx 70{,}4\\ ^\circ\mathrm{C}.çã

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