Considere água pressurizada escoando em um tubo com 20 mm de diâmetro.
Determine a velocidade média, o comprimento de entrada fluidodinâmico e o comprimento de entrada térmico para o fluido, quando sua temperatura é de 366 K e a vazão mássica é de 0,01 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para água pressurizada escoando num tubo de diâmetro 20\\ \mathrm{mm}, a temperatura do fluido é 366\\ \mathrm{K} e a vazão mássica é 0,01\\ \mathrm{kg/s}:
  • Determinar a velocidade média do escoamento.
  • Determinar o comprimento de entrada fluidodinâmico (hidrodinâmico).
  • Determinar o comprimento de entrada térmico.
Informações dadas (convertidas para unidades do SI):
D = 0,02\\ \mathrm{m},\qquad \dot{m}=0,01\\ \mathrm{kg/s},\qquad T=366\\ \mathrm{K}.
Vou usar propriedades típicas da água à temperatura 366\\ \mathrm{K} (valores tomados de tabelas padrão; se você tiver outra tabela, os resultados mudam um pouco). Valores assumidos:
\rho = 965\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mu = 3{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
c_{p}=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad k=0{,}645\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
O que vamos calcular (resumindo fórmulas que usarei mais adiante):
  • Área da seção: \displaystyle A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Velocidade média: \displaystyle v=\frac{\dot{m}}{\rho A}.
  • Número de Reynolds: \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu} (para classificar escoamento).
  • Comprimento de entrada hidrodinâmico (escoamento laminar): \displaystyle L_{h}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,D.
  • Número de Prandtl: \displaystyle \mathrm{Pr}=\frac{c_{p}\mu}{k}.
  • Comprimento de entrada térmico (escoamento laminar): \displaystyle L_{t}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D.

Passo 2

Calcular a área da seção reta do tubo. Fórmula:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,02\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0{,}02)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0001=3{,}1416\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação curta: a área de um círculo é \pi r^{2}; aqui r=D/2, por isso A=\pi D^{2}/4.

Passo 3

Calcular a velocidade média usando a definição de vazão mássica:
v=\frac{\dot{m}}{\rho A}.
Substituindo os valores:
v=\frac{0{,}01}{965\cdot 3{,}1416\times10^{-4}}=\frac{0{,}01}{0{,}30316}\approx0{,}03298\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a vazão mássica dividida pela massa por unidade de volume ( \rho) e pela área dá o volume por segundo por área, que é a velocidade média.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds e interpretar regime do escoamento. Fórmula:
\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\mu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{965\cdot 0{,}03298\cdot 0{,}02}{3{,}5\times10^{-4}} =\frac{0{,}63642}{3{,}5\times10^{-4}}\approx1{,}82\times10^{3}.
Significado: \mathrm{Re} é a razão entre forças inerciais e viscosas. Regimes típicos em tubos retos: escoamento laminar se \mathrm{Re}\lesssim2300, transição entre \sim2300 e \sim4000, turbulento acima. Como \mathrm{Re}\approx1{,}82\times10^{3}<2300, o escoamento é laminar, então usamos fórmulas válidas para regime laminar.

Passo 5

Calcular o comprimento de entrada hidrodinâmico (entrada de velocidade) para escoamento laminar. Fórmula empírica usada:
L_{h}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,D.
Motivação: em escoamento laminar o perfil de velocidade leva um comprimento proporcional a \mathrm{Re}\,D para se desenvolver; a constante 0{,}05 é a forma prática usada em engenharia para tubos circulares.
Substituindo:
L_{h}=0{,}05\cdot 1{,}818\times10^{3}\cdot 0{,}02=1{,}818\\ \mathrm{m}.
Interpretação: o perfil de velocidade atinge a forma parabólica plenamente desenvolvida ao longo de aproximadamente 1{,}82\\ \mathrm{m} neste caso.

Passo 6

Calcular o número de Prandtl e explicar seu significado. Fórmula:
\mathrm{Pr}=\frac{c_{p}\mu}{k}.
Significado: \mathrm{Pr} relaciona difusividade de momento (viscosidade cinemática) com difusividade térmica; controla como a camada térmica se desenvolve em relação à camada de velocidade.
Substituindo nossos valores:
\mathrm{Pr}=\frac{4180\cdot 3{,}5\times10^{-4}}{0{,}645}=\frac{1{,}463}{0{,}645}\approx2{,}27.

Passo 7

Calcular o comprimento de entrada térmico para escoamento laminar. Fórmula (válida para líquidos com \mathrm{Pr}\gtrsim0{,}1):
L_{t}\approx 0{,}05\,\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D.
Observação: essa expressão segue a mesma ideia do comprimento hidrodinâmico, mas multiplicada por \mathrm{Pr} porque o desenvolvimento térmico depende também da difusividade térmica.
Substituindo:
L_{t}=0{,}05\cdot 1{,}818\times10^{3}\cdot 2{,}27\cdot 0{,}02\approx4{,}13\\ \mathrm{m}.
Interpretação: como \mathrm{Pr}>1, a camada térmica se desenvolve mais lentamente que a camada de velocidade, logo o comprimento térmico é maior que o hidrodinâmico.

Passo 8

Resumo dos resultados numéricos e observações finais:
  • Velocidade média muito baixa (aprox. 0{,}033\\ \mathrm{m/s}) devido à pequena vazão mássica e à alta densidade da água.
  • Escoamento laminar ( \mathrm{Re}\approx1{,}82\times10^{3}), então as fórmulas para entrada laminar foram apropriadas.
  • Os comprimentos de entrada são relativamente longos (metros), o que é comum para tubos finos com fluidos viscosos/alta densidade e vazões baixas.
  • Aviso prático: se você tiver propriedades de água mais precisas à 366\\ \mathrm{K} (ou a pressão exata), substitua \rho,\\ \mu,\\ c_{p},\\ k para refinar os números; os passos e fórmulas permanecem os mesmos.

Resposta

v=0{,}03298\\ \mathrm{m/s}\n
L_{h}=1{,}82\\ \mathrm{m}\n
L_{t}=4{,}13\\ \mathrm{m}

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