Considere um escoamento de óleo a 20^{\circ} \mathrm{C} em um oleoduto de 30 cm de diâmetro a uma velocidade média de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A seção horizontal de 200 m de comprimento do oleoduto passa por um lago de água gelada a 0^{\circ} \mathrm{C}, de forma que medições indicam que a temperatura da superfície do tubo está próxima de 0^{\circ} \mathrm{C}. Desconsiderando a resistência térmica do material do tubo, determine (a) a temperatura do óleo quando o tubo sai do lago e (b) a taxa de transferência de calor a partir do óleo. (Resp.: a) 19,74^{\circ} \mathrm{C}; b) -6,11 \times 10^{4} W)
Observação: como T_{m, o} não é conhecida não há como determinar a temperatura média da massa de fluido \overline{T_{m}} que é a temperatura na qual as propriedades do óleo
devem ser avaliadas. A temperatura média do óleo na entrada T_{m, i} é 20^{\circ} \mathrm{C}, e esperase que diminua um pouco como resultado da perda de calor para a água gelada do lago. Pode-se avaliar as propriedades do óleo na temperatura de entrada ou supor uma dada T_{m, o} e assim calcular \overline{T_{m}}. Em ambos os casos, ao final do problema, se \overline{T_{m}} for muito diferente da utilizada inicialmente, deve-se repetir os cálculos após determinar T_{m, o} usando as propriedades avaliadas na temperatura média correta da massa de fluido. As propriedades do óleo na temperatura de entrada ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) são: \rho=888,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \quad k=0,145 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, \quad v=9,429 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \quad c_{p}=1880 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}, \operatorname{Pr}=10863.

Passo 1

Entender o que o enunciado pede e listar os dados relevantes.
O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a temperatura do óleo quando o tubo sai do lago ( T_{m,o});
  • (b) a taxa de transferência de calor a partir do óleo ( \dot{Q}, sinal negativo porque o óleo perde calor).
Dados fornecidos (pego do enunciado):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do tubo: } D = 0,30\\ \mathrm{m},\\\ &\text{velocidade média do óleo: } V = 2\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{comprimento imerso: } L = 200\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura da superfície do tubo (medida): } T_w = 0^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura de entrada do óleo: } T_{m,i} = 20^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}âéóíó
Propriedades do óleo avaliadas em 20^\circ\mathrm{C} (fornecidas):
\begin{aligned} &\rho = 888{,}1\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad k = 0{,}145\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &\nu = 9{,}429\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s},\quad c_p = 1880\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\\ &\mathrm{Pr} = 10863. \end{aligned}
Observação importante (do enunciado): as propriedades podem precisar de iteração se a temperatura média final for muito diferente de 20^\circ\mathrm{C}. Vamos calcular usando as propriedades em 20^\circ\mathrm{C} e, ao final, verificar se é necessário iterar.

Passo 2

Calcular vazão volumétrica e vazão mássica (essas serão usadas na equação de balanço de energia).
Á área da seção transversal:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}30)^{2}}{4} = 0{,}07069\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).
Vazão volumétrica:
\dot{V} = V A = 2 \times 0{,}07069 = 0{,}14138\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Vazão mássica:
\dot{m} = \rho \dot{V} = 888{,}1 \times 0{,}14138 = 125{,}5\\ \mathrm{kg/s}\\ (\text{aprox.}).
Expliquei: \dot{V} é o volume de óleo por segundo que passa pela seção; \dot{m} é a massa por segundo (importante para o balanço térmico).

Passo 3

Determinar o regime de escoamento (Reynolds) para escolher a correlação de troca térmica interna.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu} = \frac{2\cdot 0{,}30}{9{,}429\times 10^{-4}} \approx 637.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 637 < 2300, portanto o escoamento é laminar. Isso determina que usaremos correlações para convecção interna laminar.

Passo 4

Verificar se o escoamento térmico está em região termicamente desenvolvida ou não (usamos o número de Graetz) e escolher a correlação apropriada para a média de Nusselt.
Definição do número de Graetz:
\mathrm{Gz} = \mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,\frac{D}{L}.
Calcular \mathrm{Gz}:
\mathrm{Gz} = 637 \times 10863 \times \frac{0{,}30}{200} \approx 1{,}04\times 10^{4}.
Interpretação: \mathrm{Gz} é grande (ordem de 10^{4}), o que significa que o comprimento L é relativamente “curto” comparado ao comprimento de entrada térmico (ou seja, a camada térmica está em desenvolvimento ao longo do comprimento considerado). Para escoamento laminar internamente com superfície a temperatura constante, na região de entrada térmica existe uma correlação assintótica do tipo
\mathrm{Nu}_{D,\text{médio}} \approx C\; \mathrm{Gz}^{1/3}é
com C uma constante específica ao caso de superfície a temperatura constante. A correlação adequada para tubo circular com superfície a temperatura constante, quando a contribuição de entrada térmica domina, é
\mathrm{Nu}_{D,\text{médio}} = 1{,}615\;(\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,\tfrac{D}{L})^{1/3}.é
(Explico: existem outras expressões limite — por exemplo, para escoamento totalmente termicamente desenvolvido a constante em parede tem \mathrm{Nu}=3{,}66 — mas com o valor de \mathrm{Gz} obtido, a expressão de entrada é a que descreve melhor a realidade física aqui.)

Passo 5

Calcular a Nusselt média usando a correlação indicada.
Calculemos o termo cúbico:
(\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,\tfrac{D}{L})^{1/3} = \mathrm{Gz}^{1/3} \approx (1{,}04\times10^{4})^{1/3} \approx 21{,}8.
Portanto
\mathrm{Nu}_{D,\text{médio}} = 1{,}615\times 21{,}8 \approx 35{,}2.é
Explicação: \mathrm{Nu} é adimensional e representa a razão entre convecção e condução; quanto maior \mathrm{Nu}, melhor a transferência convectiva.

Passo 6

Calcular o coeficiente convectivo médio h dentro do tubo a partir de \mathrm{Nu}.
Relação:
h = \frac{\mathrm{Nu}\, k}{D}.
Substituindo:
h = \frac{35{,}2 \times 0{,}145}{0{,}30} \approx 17{,}0\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
Interpretação: h é a condutância por unidade de área entre o fluido e a parede interna do tubo.

Passo 7

Montar o balanço de energia ao longo do comprimento do tubo para relacionar T_{m,i} e T_{m,o} (parede a temperatura constante).
Considere um elemento de comprimento dx. O balanço de energia para o fluido (assumindo propriedades e h constantes) é:
\dot{m} c_p \, dT_m = - h P (T_m - T_w)\, dx,
onde P é o perímetro interno do tubo. Aqui:
P = \pi D.
Essa é uma equação diferencial linear em T_m. Separando e integrando de x=0 (entrada) a x=L (saída),
\frac{d(T_m - T_w)}{T_m - T_w} = -\frac{h P}{\dot{m} c_p}\, dx.
Integrando,
\frac{T_{m,o} - T_w}{T_{m,i} - T_w} = \exp\!\Big(-\frac{h P L}{\dot{m} c_p}\Big).
Explicação das variáveis:
  • \dot{m} vazão mássica (kg/s);
  • c_p capacidade calorífica (J/kg·K);
  • P perímetro (\mathrm{m});
  • h coeficiente convectivo médio (\mathrm{W/m^{2}K}).

Passo 8

Calcular numericamente T_{m,o} usando a expressão exponencial.
Valores numéricos:
P = \pi D = \pi\times 0{,}30 \approx 0{,}94248\\ \mathrm{m},
\dot{m} c_p = 125{,}5\times 1880 \approx 236{,}1\times 10^{3}\\ \mathrm{W/K}.
Expoente:
\theta \equiv \frac{h P L}{\dot{m} c_p} = \frac{17{,}0 \times 0{,}94248 \times 200}{236{,}1\times 10^{3}} \approx 0{,}0136.
Logo
T_{m,o} = T_w + (T_{m,i}-T_w)\, e^{-\theta} = 0 + 20 \,e^{-0{,}0136} \approx 19{,}74^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: a solução exponencial é típica de um problema do tipo “resfriamento convectivo com parede a temperatura constante”; a constante no expoente é a razão entre a capacidade térmica do fluido que passa por segundo e a resistência convectiva do conjunto de superfície total.

Passo 9

Calcular a taxa de transferência de calor a partir do óleo.
Usamos o balanço global:
\dot{Q} = \dot{m} c_p (T_{m,o} - T_{m,i}).
Substituindo T_{m,o}\approx 19{,}74^\circ\mathrm{C} e T_{m,i}=20^\circ\mathrm{C},
\dot{Q} = 125{,}5 \times 1880 \times (19{,}74 - 20) \approx -6{,}11\times 10^{4}\\ \mathrm{W}.
O sinal negativo indica que o óleo perdeu calor (calor transferido do óleo para o lago).

Passo 10

Verificação rápida sobre necessidade de iteração nas propriedades.
Temperatura média aproximada do óleo é \overline{T_m}\approx (T_{m,i}+T_{m,o})/2 \approx 19{,}87^\circ\mathrm{C}, bem próxima de 20^\circ\mathrm{C}. Portanto, avaliar propriedades em 20^\circ\mathrm{C} foi apropriado e não é necessário iterar (diferença pequena).

Resposta

a) 19{,}74^\circ\mathrm{C}
b) -6{,}11\times10^{4}\\ \mathrm{W}

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