Considere um escoamento de óleo a 20^{\circ} \mathrm{C} em um oleoduto de 30 cm de diâmetro a uma velocidade média de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A seção horizontal de 200 m de comprimento do oleoduto passa por um lago de água gelada a 0^{\circ} \mathrm{C}, de forma que medições indicam que a temperatura da superfície do tubo está próxima de 0^{\circ} \mathrm{C}. Desconsiderando a resistência térmica do material do tubo, determine (a) a temperatura do óleo quando o tubo sai do lago e (b) a taxa de transferência de calor a partir do óleo. (Resp.: a) 19,74^{\circ} \mathrm{C}; b) -6,11 \times 10^{4} W)
Observação: como T_{m, o} não é conhecida não há como determinar a temperatura média da massa de fluido \overline{T_{m}} que é a temperatura na qual as propriedades do óleo
devem ser avaliadas. A temperatura média do óleo na entrada T_{m, i} é 20^{\circ} \mathrm{C}, e esperase que diminua um pouco como resultado da perda de calor para a água gelada do lago. Pode-se avaliar as propriedades do óleo na temperatura de entrada ou supor uma dada T_{m, o} e assim calcular \overline{T_{m}}. Em ambos os casos, ao final do problema, se \overline{T_{m}} for muito diferente da utilizada inicialmente, deve-se repetir os cálculos após determinar T_{m, o} usando as propriedades avaliadas na temperatura média correta da massa de fluido. As propriedades do óleo na temperatura de entrada ( 20^{\circ} \mathrm{C} ) são: \rho=888,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \quad k=0,145 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, \quad v=9,429 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \quad c_{p}=1880 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}, \operatorname{Pr}=10863.
Passo 1
Entender o que o enunciado pede e listar os dados relevantes.
O enunciado pede duas coisas:
(a) a temperatura do óleo quando o tubo sai do lago (T_{m,o});
(b) a taxa de transferência de calor a partir do óleo (\dot{Q}, sinal negativo porque o óleo perde calor).
Dados fornecidos (pego do enunciado):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do tubo: } D = 0,30\\ \mathrm{m},\\\ &\text{velocidade média do óleo: } V = 2\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{comprimento imerso: } L = 200\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura da superfície do tubo (medida): } T_w = 0^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura de entrada do óleo: } T_{m,i} = 20^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}âéóíó
Propriedades do óleo avaliadas em 20^\circ\mathrm{C} (fornecidas):
Observação importante (do enunciado): as propriedades podem precisar de iteração se a temperatura média final for muito diferente de 20^\circ\mathrm{C}. Vamos calcular usando as propriedades em 20^\circ\mathrm{C} e, ao final, verificar se é necessário iterar.
Passo 2
Calcular vazão volumétrica e vazão mássica (essas serão usadas na equação de balanço de energia).
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 637 < 2300, portanto o escoamento é laminar. Isso determina que usaremos correlações para convecção interna laminar.
Passo 4
Verificar se o escoamento térmico está em região termicamente desenvolvida ou não (usamos o número de Graetz) e escolher a correlação apropriada para a média de Nusselt.
Interpretação: \mathrm{Gz} é grande (ordem de 10^{4}), o que significa que o comprimento L é relativamente “curto” comparado ao comprimento de entrada térmico (ou seja, a camada térmica está em desenvolvimento ao longo do comprimento considerado). Para escoamento laminar internamente com superfície a temperatura constante, na região de entrada térmica existe uma correlação assintótica do tipo
com C uma constante específica ao caso de superfície a temperatura constante. A correlação adequada para tubo circular com superfície a temperatura constante, quando a contribuição de entrada térmica domina, é
(Explico: existem outras expressões limite — por exemplo, para escoamento totalmente termicamente desenvolvido a constante em parede tem \mathrm{Nu}=3{,}66 — mas com o valor de \mathrm{Gz} obtido, a expressão de entrada é a que descreve melhor a realidade física aqui.)
Passo 5
Calcular a Nusselt média usando a correlação indicada.
Comentário didático: a solução exponencial é típica de um problema do tipo “resfriamento convectivo com parede a temperatura constante”; a constante no expoente é a razão entre a capacidade térmica do fluido que passa por segundo e a resistência convectiva do conjunto de superfície total.
Passo 9
Calcular a taxa de transferência de calor a partir do óleo.
Usamos o balanço global:
\dot{Q} = \dot{m} c_p (T_{m,o} - T_{m,i}).
Substituindo T_{m,o}\approx 19{,}74^\circ\mathrm{C} e T_{m,i}=20^\circ\mathrm{C},
O sinal negativo indica que o óleo perdeu calor (calor transferido do óleo para o lago).
Passo 10
Verificação rápida sobre necessidade de iteração nas propriedades.
Temperatura média aproximada do óleo é \overline{T_m}\approx (T_{m,i}+T_{m,o})/2 \approx 19{,}87^\circ\mathrm{C}, bem próxima de 20^\circ\mathrm{C}. Portanto, avaliar propriedades em 20^\circ\mathrm{C} foi apropriado e não é necessário iterar (diferença pequena).
Resposta
a) 19{,}74^\circ\mathrm{C}
b) -6{,}11\times10^{4}\\ \mathrm{W}