CASO VERÍDICO: Faça uma análise crítica das seguintes frases, ou trechos de frases que seguem abaixo. Observe que, em cada uma delas, ou definições ou terminologias matemáticas foram usadas incorretamente: ou não foi corretamente expresso o que se gostaria de comunicar, ou há alguma incoerência lógica na construção da frase. A maioria das frases, matematicamente erradas, são reais e foram extraídas de livros publicados no país e adotados em escolas do Ensino Fundamental ou Médio. Faça uma análise crítica das frases abaixo. (Algumas das frases apareceram na RPM Revista do Professor de Matemática-, a partir do número 40, na Seção Pisando na Bola.)
(h) “Como
não pertence ao conjunto dos reais,…”
(h) “Como
Passo 1
O enunciado traz a frase (a ser analisada): “Como
não pertence ao conjunto dos reais,…”
O pedido aqui é criticar essa frase: identificar o erro matemático e linguístico, explicar por que está errada e indicar como dizer a mesma ideia corretamente. Não há outros dados numéricos nem condições adicionais.
O pedido aqui é criticar essa frase: identificar o erro matemático e linguístico, explicar por que está errada e indicar como dizer a mesma ideia corretamente. Não há outros dados numéricos nem condições adicionais.
Passo 2
Primeiro vamos organizar o que a frase usa (e onde pode estar enganada), sem resolver nada ainda. Há três tipos de objetos misturados na frase:
- uma equação/sentença: “
” — isto é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa dependendo do ; - elementos de conjuntos: “pertence ao conjunto dos reais” refere-se a números (elementos), por exemplo
ou ; - a letra
, que pode representar um número (real ou complexo) ou uma incógnita da equação.
A frase coloca a equação “” como se ela fosse um elemento (um número) que poderia pertencer ou não ao conjunto . Isso já parece estranho: uma equação não é um número.
Passo 3
Vamos explicar claramente a diferença entre uma equação e um número (isso ajuda a entender o erro de linguagem).
- Uma equação como “
” é uma condição imposta à incógnita . Ela não é, por si só, um número. Dizemos que a equação “tem solução” ou “tem raízes” em certo conjunto (por exemplo, em ou em ). - Um número, por outro lado, é um elemento de um conjunto (por exemplo,
é um número e ). A expressão “ ” (quando é um número) é um número; mas a frase completa “ ” é uma afirmação sobre , não um número.
Portanto a expressão "
não pertence ao conjunto dos reais" mistura tipos: está tentando aplicar "pertence a
" a uma sentença lógica, o que é improprio.
Passo 4
Agora a parte matemática concreta: por que a equação “
” não tem solução em
?
- Propriedade básica dos reais: para todo
vale . Isso decorre do fato de que o quadrado de um número não-negativo é não-negativo, e o quadrado de um número negativo também é não-negativo porque . - Exemplos rápidos:
, , , . Todos não negativos. - Logo, não existe
tal que , porque e nenhum quadrado real é negativo.
Observe: isso é diferente de dizer que "
não pertence aos reais" — na verdade
pertence a
:
. O que não existe é um real
cuja potência ao quadrado seja
.
Passo 5
Qual é a correção natural e matemática da frase?
- Forma correta e clara: “Não existe
tal que .” Ou equivalentemente: “A equação não tem solução real.” - Se quisermos indicar onde há solução, introduzimos os números complexos: definindo
como a unidade imaginária com , obtemos as soluções . Então podemos dizer: “As soluções da equação são , que não pertencem a mas pertencem a .”
Passo 6
Outros pontos de linguagem e recomendações para a prova (como escrever bem e evitar erro):
- Nunca trate uma equação inteira (uma sentença) como um número. Use frases do tipo “a equação … não tem solução em …” ou “não existe
tal que …”. - Se quiser afirmar que a solução não é real, diga explicitamente "a(s) solução(ões) não pertence(m) a
" ou "não existem soluções em ". - Seja preciso ao usar o verbo “pertencer”: aplica-se a elementos e conjuntos, por exemplo “
”. Não se usa "a equação pertence a ".
Passo 7
Resumo rápido com exemplos de frases incorretas e suas correções:
- Incorreto: “Como
não pertence ao conjunto dos reais,…” - Correto: “Como não existe
tal que , …”
ou: “A equaçãonão tem raízes reais.”
ou (com solução): “As soluções são, portanto e .”
Força aí — essa confusão é comum, mas com a ideia “equação ≠ número” e a propriedade
para
você resolve rápido na prova.
Resposta
Não existe
tal que
. Alternativamente: a equação
não tem solução real; suas soluções são
(pertencentes a
, não a
).