CASO VERÍDICO: Faça uma análise crítica das seguintes frases, ou trechos de frases que seguem abaixo. Observe que, em cada uma delas, ou definições ou terminologias matemáticas foram usadas incorretamente: ou não foi corretamente expresso o que se gostaria de comunicar, ou há alguma incoerência lógica na construção da frase. A maioria das frases, matematicamente erradas, são reais e foram extraídas de livros publicados no país e adotados em escolas do Ensino Fundamental ou Médio. Faça uma análise crítica das frases abaixo. (Algumas das frases apareceram na RPM Revista do Professor de Matemática-, a partir do número 40, na Seção Pisando na Bola.)
(h) “Como r^{2}=-1 não pertence ao conjunto dos reais,…”

Passo 1

O enunciado traz a frase (a ser analisada): “Como r^{2}=-1 não pertence ao conjunto dos reais,…”
O pedido aqui é criticar essa frase: identificar o erro matemático e linguístico, explicar por que está errada e indicar como dizer a mesma ideia corretamente. Não há outros dados numéricos nem condições adicionais.

Passo 2

Primeiro vamos organizar o que a frase usa (e onde pode estar enganada), sem resolver nada ainda. Há três tipos de objetos misturados na frase:
  • uma equação/sentença: “ r^{2}=-1” — isto é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa dependendo do r;
  • elementos de conjuntos: “pertence ao conjunto dos reais” refere-se a números (elementos), por exemplo -1\in\mathbb{R} ou 2\in\mathbb{R};
  • a letra r, que pode representar um número (real ou complexo) ou uma incógnita da equação.
    A frase coloca a equação “ r^{2}=-1” como se ela fosse um elemento (um número) que poderia pertencer ou não ao conjunto \mathbb{R}. Isso já parece estranho: uma equação não é um número.

Passo 3

Vamos explicar claramente a diferença entre uma equação e um número (isso ajuda a entender o erro de linguagem).
  • Uma equação como “ r^{2}=-1” é uma condição imposta à incógnita r. Ela não é, por si só, um número. Dizemos que a equação “tem solução” ou “tem raízes” em certo conjunto (por exemplo, em \mathbb{R} ou em \mathbb{C}).
  • Um número, por outro lado, é um elemento de um conjunto (por exemplo, -1 é um número e -1\in\mathbb{R}). A expressão “ r^{2}” (quando r é um número) é um número; mas a frase completa “ r^{2}=-1” é uma afirmação sobre r, não um número.
Portanto a expressão " r^{2}=-1 não pertence ao conjunto dos reais" mistura tipos: está tentando aplicar "pertence a \mathbb{R}" a uma sentença lógica, o que é improprio.

Passo 4

Agora a parte matemática concreta: por que a equação “ r^{2}=-1” não tem solução em \mathbb{R}?
  • Propriedade básica dos reais: para todo r\in\mathbb{R} vale r^{2}\ge 0. Isso decorre do fato de que o quadrado de um número não-negativo é não-negativo, e o quadrado de um número negativo também é não-negativo porque ( -r)^{2}=r^{2}.
  • Exemplos rápidos: 0^{2}=0, 1^{2}=1, (-1)^{2}=1, 2^{2}=4. Todos não negativos.
  • Logo, não existe r\in\mathbb{R} tal que r^{2}=-1, porque -1<0 e nenhum quadrado real é negativo.
Observe: isso é diferente de dizer que " -1 não pertence aos reais" — na verdade -1 pertence a \mathbb{R}: -1\in\mathbb{R}. O que não existe é um real r cuja potência ao quadrado seja -1.

Passo 5

Qual é a correção natural e matemática da frase?
  • Forma correta e clara: “Não existe r\in\mathbb{R} tal que r^{2}=-1.” Ou equivalentemente: “A equação r^{2}=-1 não tem solução real.”
  • Se quisermos indicar onde há solução, introduzimos os números complexos: definindo i como a unidade imaginária com i^{2}=-1, obtemos as soluções r=\pm i. Então podemos dizer: “As soluções da equação r^{2}=-1 são r=\pm i, que não pertencem a \mathbb{R} mas pertencem a \mathbb{C}.”

Passo 6

Outros pontos de linguagem e recomendações para a prova (como escrever bem e evitar erro):
  • Nunca trate uma equação inteira (uma sentença) como um número. Use frases do tipo “a equação … não tem solução em …” ou “não existe x\in S tal que …”.
  • Se quiser afirmar que a solução não é real, diga explicitamente "a(s) solução(ões) não pertence(m) a \mathbb{R}" ou "não existem soluções em \mathbb{R}".
  • Seja preciso ao usar o verbo “pertencer”: aplica-se a elementos e conjuntos, por exemplo “ x\in\mathbb{R}”. Não se usa "a equação pertence a \mathbb{R}".

Passo 7

Resumo rápido com exemplos de frases incorretas e suas correções:
  • Incorreto: “Como r^{2}=-1 não pertence ao conjunto dos reais,…”
  • Correto: “Como não existe r\in\mathbb{R} tal que r^{2}=-1, …”
    ou: “A equação r^{2}=-1 não tem raízes reais.”
    ou (com solução): “As soluções são r=\pm i, portanto r\notin\mathbb{R} e r\in\mathbb{C}.”
Força aí — essa confusão é comum, mas com a ideia “equação ≠ número” e a propriedade r^{2}\ge 0 para r\in\mathbb{R} você resolve rápido na prova.

Resposta

Não existe r\in\mathbb{R} tal que r^{2}=-1. Alternativamente: a equação r^{2}=-1 não tem solução real; suas soluções são r=\pm i (pertencentes a \mathbb{C}, não a \mathbb{R}).

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