Caso você tenha resolvido os exercícios do item 1) e mesmo assim continue com dúvidas nas operações entre matrizes resolva os exercícios abaixo:
Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 8 \\\\ 4 & -1 & -6\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}5 & -7 & -9 \\\\ 0 & 4 & 1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{lll}0 & 9 & 8 \\\\ 1 & 4 & 6\end{array}\right], calcule: A+B, B-C e X=4 C+2 A-6 B.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes (peguei os valores diretamente do enunciado) e pede três operações. As matrizes são:
A = \begin{pmatrix}2 & 3 & 8 \\[4pt] 4 & -1 & -6\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}5 & -7 & -9 \\[4pt] 0 & 4 & 1\end{pmatrix},\qquad C = \begin{pmatrix}0 & 9 & 8 \\[4pt] 1 & 4 & 6\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  • Calcular A+B.
  • Calcular B-C.
  • Calcular X=4C+2A-6B.]

Passo 2

Regra para adição/subtração de matrizes (aula rápida): duas matrizes podem ser somadas ou subtraídas somente se têm as mesmas dimensões. Cada entrada do resultado é a soma/subtração das entradas correspondentes. Se M=(m_{ij}) e N=(n_{ij}) são duas matrizes da mesma ordem, então
M\pm N = (\,m_{ij}\pm n_{ij}\,),
ou seja, calcular entrada por entrada. Exemplo simples: se M=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} e N=\begin{pmatrix}e&f\\\ g&h\end{pmatrix}, então M+N=\begin{pmatrix}a+e & b+f\\\ c+g & d+h\end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicando a regra para A+B. Escrevo novamente A e B para ver as correspondências:
A = \begin{pmatrix}2 & 3 & 8 \\[4pt] 4 & -1 & -6\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}5 & -7 & -9 \\[4pt] 0 & 4 & 1\end{pmatrix}.
Somando entrada a entrada:
  • Entrada (1,1): 2+5 = 7.
  • Entrada (1,2): 3+(-7)= -4.
  • Entrada (1,3): 8+(-9)= -1.
  • Entrada (2,1): 4+0 = 4.
  • Entrada (2,2): -1+4 = 3.
  • Entrada (2,3): -6+1 = -5.
    Logo
A+B = \begin{pmatrix}7 & -4 & -1 \\[4pt] 4 & 3 & -5\end{pmatrix}.]

Passo 4

Regra para subtração é análoga à soma: basta subtrair cada entrada correspondente. Se M=(m_{ij}) e N=(n_{ij}), então M-N=(m_{ij}-n_{ij}).

Passo 5

Aplicando para B-C. Reescrevo B e C:
B = \begin{pmatrix}5 & -7 & -9 \\[4pt] 0 & 4 & 1\end{pmatrix},\qquad C = \begin{pmatrix}0 & 9 & 8 \\[4pt] 1 & 4 & 6\end{pmatrix}.
Subtraindo entrada a entrada:
  • Entrada (1,1): 5-0 = 5.
  • Entrada (1,2): -7-9 = -16.
  • Entrada (1,3): -9-8 = -17.
  • Entrada (2,1): 0-1 = -1.
  • Entrada (2,2): 4-4 = 0.
  • Entrada (2,3): 1-6 = -5.
    Portanto
B-C = \begin{pmatrix}5 & -16 & -17 \\[4pt] -1 & 0 & -5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Regra para multiplicação de uma matriz por um escalar: multiplica-se cada entrada da matriz pelo escalar. Se k é um número e M=(m_{ij}), então
kM = (k\,m_{ij}).
Para combinar vários termos como 4C+2A-6B, primeiro calcula-se cada escalar vezes a matriz e depois soma/subtrai entrada a entrada.

Passo 7

Calcular 4C. Multiplico cada entrada de C por 4:
C = \begin{pmatrix}0 & 9 & 8 \\[4pt] 1 & 4 & 6\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad 4C = \begin{pmatrix}4\cdot 0 & 4\cdot 9 & 4\cdot 8 \\[4pt] 4\cdot 1 & 4\cdot 4 & 4\cdot 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 36 & 32 \\[4pt] 4 & 16 & 24\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calcular 2A. Multiplico cada entrada de A por 2:
A = \begin{pmatrix}2 & 3 & 8 \\[4pt] 4 & -1 & -6\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad 2A = \begin{pmatrix}4 & 6 & 16 \\[4pt] 8 & -2 & -12\end{pmatrix}.]

Passo 9

Calcular 6B. Multiplico cada entrada de B por 6:
B = \begin{pmatrix}5 & -7 & -9 \\[4pt] 0 & 4 & 1\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad 6B = \begin{pmatrix}30 & -42 & -54 \\[4pt] 0 & 24 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 10

Somar 4C com 2A. Usando os resultados dos passos 7 e 8:
4C = \begin{pmatrix}0 & 36 & 32 \\[4pt] 4 & 16 & 24\end{pmatrix},\qquad 2A = \begin{pmatrix}4 & 6 & 16 \\[4pt] 8 & -2 & -12\end{pmatrix}.
Somando entrada a entrada:
  • Linha 1: 0+4=4,\; 36+6=42,\; 32+16=48.
  • Linha 2: 4+8=12,\; 16+(-2)=14,\; 24+(-12)=12.
    Então
4C+2A = \begin{pmatrix}4 & 42 & 48 \\[4pt] 12 & 14 & 12\end{pmatrix}.]

Passo 11

Agora subtrair 6B do resultado anterior para obter X. Usando 4C+2A do passo 10 e 6B do passo 9:
4C+2A = \begin{pmatrix}4 & 42 & 48 \\[4pt] 12 & 14 & 12\end{pmatrix},\qquad 6B = \begin{pmatrix}30 & -42 & -54 \\[4pt] 0 & 24 & 6\end{pmatrix}.
Subtraindo entrada a entrada:
  • Linha 1:
    • (1,1):\;4-30 = -26.
    • (1,2):\;42-(-42) = 42+42 = 84.
    • (1,3):\;48-(-54) = 48+54 = 102.
  • Linha 2:
    • (2,1):\;12-0 = 12.
    • (2,2):\;14-24 = -10.
    • (2,3):\;12-6 = 6.
      Portanto
X = 4C+2A-6B = \begin{pmatrix}-26 & 84 & 102 \\[4pt] 12 & -10 & 6\end{pmatrix}.]

Resposta

A+B = \begin{pmatrix}7 & -4 & -1 \\[4pt] 4 & 3 & -5\end{pmatrix}
B-C = \begin{pmatrix}5 & -16 & -17 \\[4pt] -1 & 0 & -5\end{pmatrix}
X = 4C+2A-6B = \begin{pmatrix}-26 & 84 & 102 \\[4pt] 12 & -10 & 6\end{pmatrix}]

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