Uma matriz quadrada A é chamada de antissimétrica se A^{\prime}=-A. Dê um exemplo de uma matriz 2 \times 2 e de uma 3 \times 3 que seja antissimétrica. O que podemos falar dos elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica? Qual a relação entre os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal?
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Dar um exemplo de uma matriz 2\times2 que seja antissimétrica (ou seja, satisfaça A'=-A).
Dar um exemplo de uma matriz 3\times3 antissimétrica.
Dizer o que acontece com os elementos da diagonal principal e qual a relação entre elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal.
Informações dadas / usadas:
A definição: uma matriz A é antissimétrica se A'=-A. Aqui A' é a transposta de A (vou também usar a notação A^\top).
Vou trabalhar com entradas genéricas a_{ij} (entrada da linha i, coluna j) e com exemplos numéricos concretos.
Passo 2
Explicar o que é transposta e como a definição vira condição sobre entradas.
Se A=(a_{ij}), então a transposta A^\top tem entradas (A^\top)_{ij}=a_{ji}.
A condição antissimétrica A^\top=-A escrita por entradas fica
a_{ji} = -a_{ij}\quad\text{para todo \(i,j\).}
Isto é a fórmula fundamental que vamos usar: cada elemento espelhado na diagonal é o negativo do original.
Passo 3
Construir a forma geral de uma matriz 2\times2 antissimétrica.
Começo com uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}.
A transposta é
A^\top=\begin{pmatrix} a & c \\\ b & d \end{pmatrix}.
Impor A^\top=-A é exigir
\begin{pmatrix} a & c \\\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & -b \\\\ -c & -d \end{pmatrix}.
Comparando entradas correspondentes obtemos as igualdades a=-a, d=-d, c=-b e b=-c. As primeiras duas dão a=0 e d=0. As últimas dizem c=-b.
Portanto a forma geral é
A=\begin{pmatrix} 0 & b \\\\ -b & 0 \end{pmatrix},
onde b é qualquer número (ou elemento do corpo considerado). Um exemplo numérico simples é escolher b=3:
\begin{pmatrix} 0 & 3 \\\\ -3 & 0 \end{pmatrix},
que verifica A^\top=-A.
Passo 4
Construir a forma geral de uma matriz 3\times3 antissimétrica e dar um exemplo numérico.
que satisfaz a condição antissimétrica (cada entrada acima da diagonal é o negativo da correspondente abaixo).]
Passo 5
Mostrar por que os elementos da diagonal principal são zero (ou quando essa conclusão falha).
Tomando a relação a_{ji}=-a_{ij} e fazendo i=j obtemos
a_{ii} = -a_{ii}.
Subtraindo os dois lados ou somando a_{ii} aos dois lados, obtemos
2a_{ii}=0.
Em campos onde 2\neq0 (por exemplo os números reais \mathbb{R} ou racionais \mathbb{Q}), isso implica imediatamente
a_{ii}=0.
Observação importante (caveat): se o corpo sobre o qual a matriz é definida tiver característica 2 (ou seja, 1+1=0 naquele corpo), então 2=0 e a equação 2a_{ii}=0 é verdadeira para qualquer a_{ii}; nesse caso a condição antissimétrica não obriga a diagonal a ser zero. Na maior parte dos contextos (matrizes reais), por isso, os elementos da diagonal são sempre zero.
Passo 6
Explicar claramente a relação entre elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal.
A relação fundamental obtida do começo foi
a_{ji}=-a_{ij}\quad\text{para todo \(i,j\).}
Isso significa, em palavras simples: cada par de elementos posicionados simetricamente em relação à diagonal principal têm o mesmo módulo (mesma grandeza) e sinais opostos. Ex.: na posição (1,2) está a_{12} e na posição (2,1) está -a_{12}.
Em particular, sempre que se escolhe livremente o conjunto de entradas acima da diagonal (as a_{ij} com i<j), as entradas abaixo da diagonal ficam automaticamente determinadas como os seus negativos.
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido:
Para construir uma matriz antissimétrica basta preencher a região acima da diagonal com valores quaisquer e colocar os seus negativos simetricamente abaixo; as diagonais serão zero (no caso usual dos reais).
Você já tem dois exemplos prontos: 2\times2 e 3\times3 acima; na prova, ao ver a condição A^\top=-A, faça exatamente esse procedimento: escreva uma matriz genérica, imponha a igualdade e compare entradas, que é rápido e seguro. Vai dar tudo certo — respira, pratica mais um pouco e confia!
Os elementos da diagonal principal satisfazem a_{ii}=-a_{ii}, logo 2a_{ii}=0; em corpos como \mathbb{R} isso implica a_{ii}=0, portanto as entradas da diagonal são zero.
Os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal cumprem a_{ji}=-a_{ij}; isto é, cada elemento abaixo da diagonal é o negativo do elemento espelhado acima da diagonal.]