Uma matriz quadrada A é chamada de antissimétrica se A^{\prime}=-A. Dê um exemplo de uma matriz 2 \times 2 e de uma 3 \times 3 que seja antissimétrica. O que podemos falar dos elementos da diagonal principal de uma matriz antissimétrica? Qual a relação entre os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal?

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Dar um exemplo de uma matriz 2\times2 que seja antissimétrica (ou seja, satisfaça A'=-A).
  • Dar um exemplo de uma matriz 3\times3 antissimétrica.
  • Dizer o que acontece com os elementos da diagonal principal e qual a relação entre elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal.
Informações dadas / usadas:
  • A definição: uma matriz A é antissimétrica se A'=-A. Aqui A' é a transposta de A (vou também usar a notação A^\top).
  • Vou trabalhar com entradas genéricas a_{ij} (entrada da linha i, coluna j) e com exemplos numéricos concretos.

Passo 2

Explicar o que é transposta e como a definição vira condição sobre entradas.
  • Se A=(a_{ij}), então a transposta A^\top tem entradas (A^\top)_{ij}=a_{ji}.
  • A condição antissimétrica A^\top=-A escrita por entradas fica
a_{ji} = -a_{ij}\quad\text{para todo \(i,j\).}
Isto é a fórmula fundamental que vamos usar: cada elemento espelhado na diagonal é o negativo do original.

Passo 3

Construir a forma geral de uma matriz 2\times2 antissimétrica.
  • Começo com uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}.
  • A transposta é
A^\top=\begin{pmatrix} a & c \\\ b & d \end{pmatrix}.
  • Impor A^\top=-A é exigir
\begin{pmatrix} a & c \\\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a & -b \\\\ -c & -d \end{pmatrix}.
Comparando entradas correspondentes obtemos as igualdades a=-a, d=-d, c=-b e b=-c. As primeiras duas dão a=0 e d=0. As últimas dizem c=-b.
  • Portanto a forma geral é
A=\begin{pmatrix} 0 & b \\\\ -b & 0 \end{pmatrix},
onde b é qualquer número (ou elemento do corpo considerado). Um exemplo numérico simples é escolher b=3:
\begin{pmatrix} 0 & 3 \\\\ -3 & 0 \end{pmatrix},
que verifica A^\top=-A.

Passo 4

Construir a forma geral de uma matriz 3\times3 antissimétrica e dar um exemplo numérico.
  • Escrevendo as entradas genéricas
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
a condição a_{ji}=-a_{ij} implica, para os três índices diferentes:
a_{21}=-a_{12},\qquad a_{31}=-a_{13},\qquad a_{32}=-a_{23},
e também, para as diagonais,
a_{11}=-a_{11},\quad a_{22}=-a_{22},\quad a_{33}=-a_{33}.
  • Das últimas três segue que cada a_{ii} satisfaz 2a_{ii}=0, o que normalmente implica a_{ii}=0 (veremos isso em detalhe no passo seguinte).
  • Assim a forma geral (em um corpo de característica diferente de 2, por ex. reais) é
A=\begin{pmatrix} 0 & a & b\\[4pt] -a & 0 & c\\[4pt] -b & -c & 0 \end{pmatrix},
onde a,b,c são quaisquer números. Um exemplo numérico concreto: escolher a=2, b=-1, c=4. Isso dá
\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\[4pt] -2 & 0 & 4\\[4pt] 1 & -4 & 0 \end{pmatrix},
que satisfaz a condição antissimétrica (cada entrada acima da diagonal é o negativo da correspondente abaixo).]

Passo 5

Mostrar por que os elementos da diagonal principal são zero (ou quando essa conclusão falha).
  • Tomando a relação a_{ji}=-a_{ij} e fazendo i=j obtemos
a_{ii} = -a_{ii}.
  • Subtraindo os dois lados ou somando a_{ii} aos dois lados, obtemos
2a_{ii}=0.
  • Em campos onde 2\neq0 (por exemplo os números reais \mathbb{R} ou racionais \mathbb{Q}), isso implica imediatamente
a_{ii}=0.
  • Observação importante (caveat): se o corpo sobre o qual a matriz é definida tiver característica 2 (ou seja, 1+1=0 naquele corpo), então 2=0 e a equação 2a_{ii}=0 é verdadeira para qualquer a_{ii}; nesse caso a condição antissimétrica não obriga a diagonal a ser zero. Na maior parte dos contextos (matrizes reais), por isso, os elementos da diagonal são sempre zero.

Passo 6

Explicar claramente a relação entre elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal.
  • A relação fundamental obtida do começo foi
a_{ji}=-a_{ij}\quad\text{para todo \(i,j\).}
  • Isso significa, em palavras simples: cada par de elementos posicionados simetricamente em relação à diagonal principal têm o mesmo módulo (mesma grandeza) e sinais opostos. Ex.: na posição (1,2) está a_{12} e na posição (2,1) está -a_{12}.
  • Em particular, sempre que se escolhe livremente o conjunto de entradas acima da diagonal (as a_{ij} com i<j), as entradas abaixo da diagonal ficam automaticamente determinadas como os seus negativos.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido:
  • Para construir uma matriz antissimétrica basta preencher a região acima da diagonal com valores quaisquer e colocar os seus negativos simetricamente abaixo; as diagonais serão zero (no caso usual dos reais).
  • Você já tem dois exemplos prontos: 2\times2 e 3\times3 acima; na prova, ao ver a condição A^\top=-A, faça exatamente esse procedimento: escreva uma matriz genérica, imponha a igualdade e compare entradas, que é rápido e seguro. Vai dar tudo certo — respira, pratica mais um pouco e confia!

Resposta

\text{Exemplo }2\times2:\quad \begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]-3 & 0\end{pmatrix}
\text{Exemplo }3\times3:\quad \begin{pmatrix}0 & 2 & -1\\[4pt]-2 & 0 & 4\\[4pt]1 & -4 & 0\end{pmatrix}
Os elementos da diagonal principal satisfazem a_{ii}=-a_{ii}, logo 2a_{ii}=0; em corpos como \mathbb{R} isso implica a_{ii}=0, portanto as entradas da diagonal são zero.
Os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal cumprem a_{ji}=-a_{ij}; isto é, cada elemento abaixo da diagonal é o negativo do elemento espelhado acima da diagonal.]

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