Nos casos abaixo, calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial x partial y de 1 ordem:
f(x, y)=e^x^2 y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função f(x, y) = e^x^2 y e precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y , ou seja, partial fpartial x e partial fpartial y . Além disso, também precisamos calcular a derivada mista partial^2 fpartial x partial y . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x . Isso significa que tratamos y como uma constante e derivamos f em função de x .
Sabemos que a derivada de e^u em relação a x é e^u cdot dudx . Aqui, u = x^2 y , então:
partial fpartial x = e^x^2 y cdot ddx(x^2 y) = e^x^2 y cdot (2x y) = 2x y e^x^2 y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y . Desta vez, tratamos x como uma constante e derivamos f em função de y .
Novamente, usando a regra da cadeia, temos:
partial fpartial y = e^x^2 y cdot ddy(x^2 y) = e^x^2 y cdot x^2 = x^2 e^x^2 y

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada mista partial^2 fpartial x partial y . Isso significa que primeiro derivamos f em relação a x e depois derivamos o resultado em relação a y .
Já encontramos partial fpartial x = 2x y e^x^2 y . Agora, derivamos isso em relação a y :
partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y(2x y e^x^2 y) = 2x e^x^2 y + 2x y cdot x^2 e^x^2 y = 2x e^x^2 y (1 + x^2 y)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem e a derivada mista são:
partial fpartial x = 2x y e^x^2 y
partial fpartial y = x^2 e^x^2 y
partial^2 fpartial x partial y = 2x e^x^2 y (1 + x^2 y)

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