Nos casos abaixo, calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial x partial y de 1 ordem:
f(x, y)=x y^2+x y+x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x y^2 + x y + x^2 y . Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, mais especificamente em derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . Isso significa que tratamos y como uma constante enquanto derivamos em relação a x .
A função é:
f(x, y) = x y^2 + x y + x^2 y
Derivando termo a termo:
  • O derivado de x y^2 em relação a x é y^2 (porque y^2 é constante).
  • O derivado de x y em relação a x é y .
  • O derivado de x^2 y em relação a x é 2x y (usando a regra do poder).
Somando tudo:
partial fpartial x = y^2 + y + 2x y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y . Aqui, tratamos x como uma constante enquanto derivamos em relação a y .
Derivando termo a termo:
  • O derivado de x y^2 em relação a y é 2x y .
  • O derivado de x y em relação a y é x .
  • O derivado de x^2 y em relação a y é x^2 .
Somando tudo:
partial fpartial y = 2x y + x + x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial mista partial^2 fpartial x partial y . Isso significa que primeiro derivamos f em relação a x e depois derivamos o resultado em relação a y .
Já encontramos:
partial fpartial x = y^2 + y + 2x y
Agora, derivando isso em relação a y :
  • O derivado de y^2 em relação a y é 2y .
  • O derivado de y em relação a y é 1 .
  • O derivado de 2x y em relação a y é 2x .
Somando tudo:
partial^2 fpartial x partial y = 2y + 1 + 2x

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
partial fpartial x = y^2 + y + 2x y
partial fpartial y = 2x y + x + x^2
E a derivada mista de segunda ordem é:
partial^2 fpartial x partial y = 2y + 1 + 2x

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