Nos casos abaixo, calcule as derivadas parciais
de 1 ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, mais especificamente em derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que tratamos
como uma constante enquanto derivamos em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo:
- O derivado de
em relação a é (porque é constante). - O derivado de
em relação a é . - O derivado de
em relação a é (usando a regra do poder).
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante enquanto derivamos em relação a
.
Derivando termo a termo:
- O derivado de
em relação a é . - O derivado de
em relação a é . - O derivado de
em relação a é .
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial mista
. Isso significa que primeiro derivamos
em relação a
e depois derivamos o resultado em relação a
.
Já encontramos:
Agora, derivando isso em relação a
:
- O derivado de
em relação a é . - O derivado de
em relação a é . - O derivado de
em relação a é .
Somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
E a derivada mista de segunda ordem é: