Dada f(x, y)=x^2 t+x^2. calcule partial fpartial x e partial^2 fpartial y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = x^2 y + x^2 . O objetivo é calcular as derivadas parciais de f em relação a x e depois a segunda derivada parcial em relação a y . Isso envolve entender o conceito de derivadas parciais, que são usadas quando queremos ver como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . Isso significa que vamos derivar f tratando y como uma constante.
A função é:
f(x, y) = x^2 y + x^2
Derivando termo a termo em relação a x :
  • A derivada de x^2 y em relação a x é 2x y , porque y é constante.
  • A derivada de x^2 em relação a x é 2x .
Então,
partial fpartial x = 2x y + 2x = 2x(y + 1)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial^2 fpartial y^2 . Primeiro, precisamos achar a primeira derivada parcial em relação a y .
Começamos com a função original:
f(x, y) = x^2 y + x^2
Derivando em relação a y :
  • A derivada de x^2 y em relação a y é x^2 , já que x^2 é constante.
  • A derivada de x^2 em relação a y é 0, pois não depende de y .
Então,
partial fpartial y = x^2
Agora, vamos derivar isso novamente em relação a y :
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y(x^2) = 0
Porque x^2 não depende de y .

Resposta

A derivada parcial de f em relação a x é:
partial fpartial x = 2x(y + 1)
E a segunda derivada parcial de f em relação a y é:
partial^2 fpartial y^2 = 0

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