Dada
. calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e depois a segunda derivada parcial em relação a
. Isso envolve entender o conceito de derivadas parciais, que são usadas quando queremos ver como a função muda quando mudamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos derivar
tratando
como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , porque é constante. - A derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Primeiro, precisamos achar a primeira derivada parcial em relação a
.
Começamos com a função original:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , já que é constante. - A derivada de
em relação a é 0, pois não depende de .
Então,
Agora, vamos derivar isso novamente em relação a
:
Porque
não depende de
.
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a segunda derivada parcial de
em relação a
é: