Nos casos abaixo, veirifique se
é um homomorfismo:
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos duas estruturas chamadas grupos, que aqui são basicamente os números inteiros com a operação de adição. A gente quer saber se a função
, que vai de um grupo
para outro grupo
, é um homomorfismo. Um homomorfismo é uma função que respeita a estrutura do grupo, ou seja, mantém a operação de adição funcionando de forma compatível entre os dois grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo. Em termos simples, para que
seja um homomorfismo entre os grupos
e
, ela precisa satisfazer a condição:
Isso significa que se você somar dois elementos no grupo
e depois aplicar a função
, o resultado deve ser o mesmo que aplicar
em cada elemento individualmente e depois somar os resultados no grupo
.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa função
. Precisamos verificar se:
Vamos calcular os dois lados da equação.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Expandindo o quadrado:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Passo 6
Agora comparamos os dois resultados:
Percebemos que falta o termo
em
para ser igual a
.
Passo 7
Para que
, o termo
precisaria ser zero para todos os inteiros
e
. Mas isso não acontece a menos que
ou
seja zero, o que não é o caso para todos os inteiros.
Passo 8
Portanto, como a igualdade não se mantém para todos os
e
em
, a função
não é um homomorfismo entre os grupos
.
Resposta
A função
não é um homomorfismo entre os grupos
.