Nos casos abaixo, veirifique se f: G J é um homomorfismo:
G=lang<=Z,+rang<=, J==lang<=Z,+rang<=, f(x)=7 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos duas estruturas chamadas grupos, que aqui são basicamente os números inteiros com a operação de adição. A gente quer saber se a função f(x) = 7x^2, que vai de um grupo G para outro grupo J, é um homomorfismo. Um homomorfismo é uma função que respeita a estrutura do grupo, ou seja, mantém a operação de adição funcionando de forma compatível entre os dois grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um homomorfismo. Em termos simples, para que f seja um homomorfismo entre os grupos (G, +) e (J, +), ela precisa satisfazer a condição:
f(a + b) = f(a) + f(b) para todos a, b in G
Isso significa que se você somar dois elementos no grupo G e depois aplicar a função f, o resultado deve ser o mesmo que aplicar f em cada elemento individualmente e depois somar os resultados no grupo J.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função f(x) = 7x^2. Precisamos verificar se:
f(a + b) = f(a) + f(b)
Vamos calcular os dois lados da equação.

Passo 4

Primeiro, calculamos f(a + b):
f(a + b) = 7(a + b)^2
Expandindo o quadrado:
7(a + b)^2 = 7(a^2 + 2ab + b^2) = 7a^2 + 14ab + 7b^2

Passo 5

Agora, calculamos f(a) + f(b):
f(a) + f(b) = 7a^2 + 7b^2

Passo 6

Agora comparamos os dois resultados:
f(a + b) = 7a^2 + 14ab + 7b^2
f(a) + f(b) = 7a^2 + 7b^2
Percebemos que falta o termo 14ab em f(a) + f(b) para ser igual a f(a + b).

Passo 7

Para que f(a + b) = f(a) + f(b), o termo 14ab precisaria ser zero para todos os inteiros a e b. Mas isso não acontece a menos que a ou b seja zero, o que não é o caso para todos os inteiros.

Passo 8

Portanto, como a igualdade não se mantém para todos os a e b em G, a função f(x) = 7x^2 não é um homomorfismo entre os grupos (Z, +).

Resposta

A função f(x) = 7x^2 não é um homomorfismo entre os grupos (Z, +).

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