Quais das seguintes funções são homomorfismos? Se a função for um homomorfismo, qual é o kernel?
phi: GL2(R) R definida por
phi((ll a & b c & d ))=a+d

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa função é um homomorfismo e, se for, descobrir qual é o kernel dela. A função em questão é:
phi( a & b c & d ) = a + d
Estamos lidando com grupos, especificamente com o grupo geral linear de 2x2 matrizes sobre os números reais, denotado por GL2(R). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de grupos e como encontrar o kernel de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, uma função phi entre dois grupos (G, cdot) e (H, *) é um homomorfismo se ela respeita a operação dos grupos. Isso significa que para todo g1, g2 in G,
phi(g1 cdot g2) = phi(g1) * phi(g2)
No nosso caso, o grupo de partida é GL2(R) com a operação de multiplicação de matrizes, e o grupo de chegada é (R, +), os números reais com a operação de adição.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função phi é um homomorfismo. Ou seja, precisamos ver se para duas matrizes A e B em GL2(R),
phi(A cdot B) = phi(A) + phi(B)
Vamos calcular ambos os lados.

Passo 4

Sejam:
A = a & b c & d , B = e & f g & h
Primeiro, calculamos A cdot B:
A cdot B = a e + b g & a f + b h c e + d g & c f + d h
Então,
phi(A cdot B) = (a e + b g) + (c f + d h) = a e + b g + c f + d h
Agora, vamos calcular phi(A) + phi(B):
phi(A) = a + d
phi(B) = e + h
phi(A) + phi(B) = (a + d) + (e + h) = a + d + e + h

Passo 5

Comparando os dois resultados:
phi(A cdot B) = a e + b g + c f + d h
phi(A) + phi(B) = a + d + e + h
Para phi ser um homomorfismo, esses dois devem ser iguais para todo A e B em GL2(R). Porém, a única maneira de isso acontecer é se os termos b g + c f forem sempre iguais a zero. Mas isso não é verdadeiro para todas as matrizes invertíveis.

Passo 6

Como não temos igualdade geral entre phi(A cdot B) e phi(A) + phi(B), concluímos que a função phi não é um homomorfismo de grupos.

Resposta

A função phi não é um homomorfismo.

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