Quais das seguintes funções são homomorfismos? Se a função for um homomorfismo, qual é o kernel?
definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma certa função é um homomorfismo e, se for, descobrir qual é o kernel dela. A função em questão é:
Estamos lidando com grupos, especificamente com o grupo geral linear de 2x2 matrizes sobre os números reais, denotado por
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo de grupos e como encontrar o kernel de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Basicamente, uma função
entre dois grupos
e
é um homomorfismo se ela respeita a operação dos grupos. Isso significa que para todo
,
No nosso caso, o grupo de partida é
com a operação de multiplicação de matrizes, e o grupo de chegada é
, os números reais com a operação de adição.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é um homomorfismo. Ou seja, precisamos ver se para duas matrizes
e
em
,
Vamos calcular ambos os lados.
Passo 4
Sejam:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Comparando os dois resultados:
Para
ser um homomorfismo, esses dois devem ser iguais para todo
e
em
. Porém, a única maneira de isso acontecer é se os termos
forem sempre iguais a zero. Mas isso não é verdadeiro para todas as matrizes invertíveis.
Passo 6
Como não temos igualdade geral entre
e
, concluímos que a função
não é um homomorfismo de grupos.
Resposta
A função
não é um homomorfismo.