Para os casos de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) determine a solução de m \ddot{x}+b \dot{x}+k x=F(t) que satisfaz as condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0}, com as forças aplicadas abaixo:
F(t)=F_{0}\left(1-e^{-\alpha t}\right)
onde F_{0}, t_{0}, \alpha e \omega são constantes positivas e \theta é uma constante. Discuta as soluções de cada caso.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução da equação diferencial linear não-homogênea
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F(t),\qquad F(t)=F_{0}\bigl(1-e^{-\alpha t}\bigr),
sujeita às condições iniciais \;x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0}. Os parâmetros m,b,k,F_{0},\alpha são constantes positivas; além disso precisamos dar a solução nos três casos de amortecimento: supercrítico (sobreamortecido), crítico e subcrítico (subamortecido).\
Informações dadas e objetivos concretos:
  • Equação: \;m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=F_{0}(1-e^{-\alpha t}).
  • Condições iniciais: \;x(0)=x_{0},\\ \dot{x}(0)=v_{0}.
  • Pedir as soluções para os três casos de amortecimento: b^{2}>4mk (sobreamortecido), b^{2}=4mk (criticamente amortecido), b^{2}<4mk (subamortecido).
  • Discutir comportamento (transiente, regime estacionário, efeito de possível “ressonância” caso a força exponencial coincida com raízes do homogêneo).

Passo 2

Vou começar resolvendo a parte homogênea e explicando a ideia geral. A equação homogênea associada é
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=0.
Procuramos soluções do tipo \;x_h(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
m r^{2}+b r + k = 0.
As raízes são
r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4mk}}{2m}.
Interpretação e formas da solução homogênea:
  • Se \;b^{2}>4mk (sobreamortecido): r_{1},r_{2} reais e distintos. Então
x_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.
  • Se \;b^{2}=4mk (criticamente amortecido): raiz dupla r_{0}=-\dfrac{b}{2m}. Então
x_{h}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{r_{0}t}.
  • Se \;b^{2}<4mk (subamortecido): raízes complexas r=-\dfrac{b}{2m}\pm i\omega_{d}, com
\omega_{d}=\frac{\sqrt{4mk-b^{2}}}{2m}=\sqrt{\frac{k}{m}-\Bigl(\frac{b}{2m}\Bigr)^{2}}.
Então é conveniente escrever
x_{h}(t)=e^{-\zeta t}\bigl(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\bigr),
onde \zeta=\dfrac{b}{2m}.
Explicação didática curta: a solução geral é soma da homogênea (transiente, depende das constantes iniciais) e de uma particular (força aplicada). A homogênea descreve o que acontece sem força externa; a parte particular incorpora o efeito direto de F(t). No tempo longo, a parte homogênea decai (se b>0), e a solução tende à parte particular estacionária.

Passo 3

Agora encontramos uma solução particular para a força F(t)=F_{0}(1-e^{-\alpha t}). Pela linearidade, podemos procurar x_{p}(t) como soma de duas partes: uma para a constante F_{0} e outra para o termo exponencial -F_{0}e^{-\alpha t}.
  1. Parte para a constante F_{0}: procurar x_{p1}=C constante. Substituir dá kC=F_{0}, logo
x_{p1}=\frac{F_{0}}{k}.
  1. Parte para o termo exponencial -F_{0}e^{-\alpha t}: procurar x_{p2}=D e^{-\alpha t} (método dos coeficientes indeterminados). Substituindo na equação com o operador L[x]=m x''+b x'+k x:
L[D e^{-\alpha t}]=D e^{-\alpha t}\bigl(m\alpha^{2}-b\alpha + k\bigr).
Queremos que isto seja igual a -F_{0}e^{-\alpha t}. Assim, se
m\alpha^{2}-b\alpha + k \neq 0,
então
D=-\frac{F_{0}}{m\alpha^{2}-b\alpha + k}.
Portanto, quando não há coincidência de “frequência” (não-resonante), a parte particular é
x_{p}(t)=\frac{F_{0}}{k}+D e^{-\alpha t},\qquad D=-\frac{F_{0}}{m\alpha^{2}-b\alpha + k}.
  1. Caso ressonante (caso especial): se
m\alpha^{2}-b\alpha + k = 0,
então e^{-\alpha t} é solução da homogênea com r=-\alpha (ou seja -\alpha coincide com uma raiz do polinômio característico). Nesse caso o palpite D e^{-\alpha t} falha e devemos tentar x_{p2}=D\,t e^{-\alpha t}. Substituindo x=t e^{-\alpha t} no operador obtemos (cálculo direto)
L[t e^{-\alpha t}] = e^{-\alpha t}\bigl((m\alpha^{2}-b\alpha+k)\,t +(-2m\alpha + b)\bigr).
Se m\alpha^{2}-b\alpha+k=0 então L[t e^{-\alpha t}]=e^{-\alpha t}(-2m\alpha + b). Para igualar a -F_{0}e^{-\alpha t} precisamos de
D(-2m\alpha + b)=-F_{0}\quad\Rightarrow\quad D=\frac{F_{0}}{2m\alpha - b},
desde que 2m\alpha-b\neq 0. (Se também 2m\alpha-b=0 ocorreria um caso ainda mais degenerado exigindo um termo em t^{2}e^{-\alpha t}, raro e tratável da mesma maneira.)
Resumo da particular:
  • Se m\alpha^{2}-b\alpha + k \neq 0: \;x_{p}(t)=\dfrac{F_{0}}{k}-\dfrac{F_{0}}{m\alpha^{2}-b\alpha+k}\,e^{-\alpha t}.
  • Se m\alpha^{2}-b\alpha + k = 0 (ressonante): \;x_{p}(t)=\dfrac{F_{0}}{k}+\dfrac{F_{0}}{2m\alpha-b}\,t e^{-\alpha t}.

Passo 4

Agora montamos a solução geral e aplicamos as condições iniciais no caso sobreamortecido ( b^{2}>4mk\)). Raízes reais distintas \(r_{1},r_{2}\). A solução geral é \[x(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}+x_{p}(t),
onde x_{p} é a particular do passo anterior. Para compactar notação defina D como a constante associada ao termo exponencial particular no caso não-resonante:
D=-\frac{F_{0}}{m\alpha^{2}-b\alpha+k}\quad\text{(se }m\alpha^{2}-b\alpha+k\neq0\text{)}.
Então
x_{p}(0)=\frac{F_{0}}{k}+D,\qquad x_{p}'(0)=-\alpha D.
Aplicando x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0} obtemos o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=x_{0}-x_{p}(0)=X,\\[4pt] C_{1}r_{1}+C_{2}r_{2}=v_{0}-x_{p}'(0)=v_{0}+\alpha D=V. \end{cases}
Resolvendo este sistema (regra de Cramer) dá
C_{1}=\frac{V-r_{2}X}{r_{1}-r_{2}},\qquad C_{2}=\frac{r_{1}X-V}{r_{1}-r_{2}},
com X=x_{0}-\dfrac{F_{0}}{k}-D\] e \(V=v_{0}+\alpha D. Se estivermos no caso ressonante (isto é m\alpha^{2}-b\alpha+k=0), substituímos a forma de x_{p} com D_{\text{res}}=\dfrac{F_{0}}{2m\alpha-b} e usamos x_{p}(0)=F_{0}/k e x_{p}'(0)=D_{\text{res}} para formar o sistema análogo e obter C_{1},C_{2}.
Discussão do caso: a solução tem duas exponenciais de decaimento e^{r_{1}t},e^{r_{2}t} (ambas decaindo já que r_{1},r_{2}<0 quando b>0), mais uma transiente exponencial vindo de e^{-\alpha t} ou t e^{-\alpha t} se resonante. No longo prazo x(t)\to F_{0}/k.]

Passo 5

Caso criticamente amortecido ( b^{2}=4mk): raiz dupla r_{0}=-\dfrac{b}{2m}. A solução geral é
x(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{r_{0}t}+x_{p}(t).
Usamos x_{p} do passo 3 (com a alternativa ressonante se for o caso). Aplicando condições iniciais:
x(0)=C_{1}+x_{p}(0)=x_{0}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=x_{0}-x_{p}(0).
A derivada é
\dot{x}(t)=C_{2}e^{r_{0}t}+(C_{1}+C_{2}t)r_{0}e^{r_{0}t}+x_{p}'(t),
então em t=0:
v_{0}=C_{2}+C_{1}r_{0}+x_{p}'(0).
Isolando C_{2}:
C_{2}=v_{0}-C_{1}r_{0}-x_{p}'(0).
Substitua C_{1} calculado acima. Se o caso é não-resonante use x_{p}(0)=F_{0}/k+D e x_{p}'(0)=-\alpha D com D do passo 3; se for o caso ressonante use x_{p}(0)=F_{0}/k e x_{p}'(0)=D_{\text{res}}.
Discussão: aqui o transiente homogêneo tem fator t e^{r_{0}t} — decaimento mais “lento” que no sobreamortecido. Longo prazo: novamente x(t)\to F_{0}/k.

Passo 6

Caso subamortecido ( b^{2}<4mk). Defina \zeta=\dfrac{b}{2m} e \omega_{d}=\sqrt{\dfrac{k}{m}-\zeta^{2}}. A solução geral é
x(t)=e^{-\zeta t}\bigl(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\bigr)+x_{p}(t).
Usando condições iniciais: em t=0,
x(0)=A+x_{p}(0)=x_{0}\quad\Rightarrow\quad A=x_{0}-x_{p}(0).
A derivada da parte homogênea em t=0 é -\zeta A+\omega_{d}B. Assim
v_{0}=-\zeta A+\omega_{d}B + x_{p}'(0)\quad\Rightarrow\quad B=\frac{v_{0}-x_{p}'(0)+\zeta A}{\omega_{d}}.
Novamente x_{p}(0) e x_{p}'(0) são os valores da particular (usar D não-resonante ou D_{\text{res}} no caso especial). Então os coeficientes A,B ficam explicitamente em termos de x_{0},v_{0} e dos parâmetros. A solução apresenta oscilações amortecidas (frequência \omega_{d}) que decaem exponencialmente com taxa \zeta. No longo prazo a oscilação some e x(t)\to F_{0}/k.

Passo 7

Resumo didático e comportamento físico:
  • Em todos os casos a solução é da forma
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t),
onde x_{h} é o transiente (dependente das condições iniciais) e x_{p} é a particular (força aplicada). Para b>0 o transiente decai com o tempo e a solução tende para o regime estacionário \;x_{\infty}=\dfrac{F_{0}}{k}.
  • Se m\alpha^{2}-b\alpha+k\neq0 a parte particular contém um termo em e^{-\alpha t} com amplitude D=-\dfrac{F_{0}}{m\alpha^{2}-b\alpha+k}. Se m\alpha^{2}-b\alpha+k=0 (ressonância entre a taxa \alpha da força e as raízes do homogêneo) aparece um termo secular t e^{-\alpha t} (coeficiente D_{\text{res}}=\dfrac{F_{0}}{2m\alpha-b}), que altera a forma do transiente, mas ainda decai no tempo se b>0.
  • Interpretação física: F_{0}/k é o deslocamento estático devido à carga constante F_{0}. O resto são transientes que descrevem como o sistema se ajusta a essa carga, com amortecimento controlando se há oscilações ou apenas decaimento monotônico.

Resposta

Sobreamortecido ( b^{2}>4mk, r_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4mk}}{2m}):
\displaystyle x(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}+\frac{F_{0}}{k}+D e^{-\alpha t},
onde, se m\alpha^{2}-b\alpha+k\neq0,
D=-\frac{F_{0}}{m\alpha^{2}-b\alpha+k},\quad X=x_{0}-\frac{F_{0}}{k}-D,\quad V=v_{0}+\alpha D,
C_{1}=\frac{V-r_{2}X}{r_{1}-r_{2}},\qquad C_{2}=\frac{r_{1}X-V}{r_{1}-r_{2}}.
Se m\alpha^{2}-b\alpha+k=0 (ressonante), então
x(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}+\frac{F_{0}}{k}+D_{\text{res}}\,t e^{-\alpha t},
com D_{\text{res}}=\dfrac{F_{0}}{2m\alpha-b} e os C_{1},C_{2} obtidos resolvendo o sistema com x_{p}(0)=F_{0}/k,\\ x_{p}'(0)=D_{\text{res}}.
Criticamente amortecido ( b^{2}=4mk, r_{0}=-\dfrac{b}{2m}):
\displaystyle x(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{r_{0}t}+\;x_{p}(t),
onde x_{p} é a particular do passo 3. Em particular, no caso não-resonante use x_{p}(t)=\dfrac{F_{0}}{k}+D e^{-\alpha t} com D=-\dfrac{F_{0}}{m\alpha^{2}-b\alpha+k}; então
C_{1}=x_{0}-x_{p}(0),\qquad C_{2}=v_{0}-C_{1}r_{0}-x_{p}'(0).
No caso ressonante substitua x_{p} por \dfrac{F_{0}}{k}+D_{\text{res}}\,t e^{-\alpha t} com D_{\text{res}}=\dfrac{F_{0}}{2m\alpha-b} e calcule C_{1},C_{2} de forma análoga.
Subamortecido ( b^{2}<4mk, \zeta=\dfrac{b}{2m}, \omega_{d}=\sqrt{\dfrac{k}{m}-\zeta^{2}}):
\displaystyle x(t)=e^{-\zeta t}\bigl(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\bigr)+x_{p}(t),
onde x_{p} é a particular (não-resonante: x_{p}=\dfrac{F_{0}}{k}+D e^{-\alpha t} com D=-\dfrac{F_{0}}{m\alpha^{2}-b\alpha+k}, ou ressonante: x_{p}=\dfrac{F_{0}}{k}+D_{\text{res}}\,t e^{-\alpha t}). Os coeficientes são
A=x_{0}-x_{p}(0),\qquad B=\frac{v_{0}-x_{p}'(0)+\zeta A}{\omega_{d}}.

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