Para os casos de amortecimento (supercrítico, crítico e subcrítico) determine a solução de
que satisfaz as condições iniciais
e
, com as forças aplicadas abaixo:
onde
e
são constantes positivas e
é uma constante. Discuta as soluções de cada caso.
onde
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução da equação diferencial linear não-homogênea
sujeita às condições iniciais
e
. Os parâmetros
são constantes positivas; além disso precisamos dar a solução nos três casos de amortecimento: supercrítico (sobreamortecido), crítico e subcrítico (subamortecido).\
Informações dadas e objetivos concretos:
Informações dadas e objetivos concretos:
- Equação:
. - Condições iniciais:
- Pedir as soluções para os três casos de amortecimento:
(sobreamortecido), (criticamente amortecido), (subamortecido). - Discutir comportamento (transiente, regime estacionário, efeito de possível “ressonância” caso a força exponencial coincida com raízes do homogêneo).
Passo 2
Vou começar resolvendo a parte homogênea e explicando a ideia geral. A equação homogênea associada é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
As raízes são
Interpretação e formas da solução homogênea:
- Se
(sobreamortecido): reais e distintos. Então
- Se
(criticamente amortecido): raiz dupla . Então
- Se
(subamortecido): raízes complexas , com
Então é conveniente escrever
onde
.
Explicação didática curta: a solução geral é soma da homogênea (transiente, depende das constantes iniciais) e de uma particular (força aplicada). A homogênea descreve o que acontece sem força externa; a parte particular incorpora o efeito direto de
. No tempo longo, a parte homogênea decai (se
), e a solução tende à parte particular estacionária.
Passo 3
Agora encontramos uma solução particular para a força
. Pela linearidade, podemos procurar
como soma de duas partes: uma para a constante
e outra para o termo exponencial
.
- Parte para a constante
: procurar constante. Substituir dá , logo
- Parte para o termo exponencial
: procurar (método dos coeficientes indeterminados). Substituindo na equação com o operador :
Queremos que isto seja igual a
. Assim, se
então
Portanto, quando não há coincidência de “frequência” (não-resonante), a parte particular é
- Caso ressonante (caso especial): se
então
é solução da homogênea com
(ou seja
coincide com uma raiz do polinômio característico). Nesse caso o palpite
falha e devemos tentar
. Substituindo
no operador obtemos (cálculo direto)
Se
então
. Para igualar a
precisamos de
desde que
. (Se também
ocorreria um caso ainda mais degenerado exigindo um termo em
, raro e tratável da mesma maneira.)
Resumo da particular:
- Se
: - Se
(ressonante):
Passo 4
Agora montamos a solução geral e aplicamos as condições iniciais no caso sobreamortecido (
onde
é a particular do passo anterior. Para compactar notação defina
como a constante associada ao termo exponencial particular no caso não-resonante:
Então
Aplicando
e
obtemos o sistema
Resolvendo este sistema (regra de Cramer) dá
com
. Se estivermos no caso ressonante (isto é
), substituímos a forma de
com
e usamos
e
para formar o sistema análogo e obter
.
Discussão do caso: a solução tem duas exponenciais de decaimento
(ambas decaindo já que
quando
), mais uma transiente exponencial vindo de
ou
se resonante. No longo prazo
.]
Passo 5
Caso criticamente amortecido (
): raiz dupla
. A solução geral é
Usamos
do passo 3 (com a alternativa ressonante se for o caso). Aplicando condições iniciais:
A derivada é
então em
:
Isolando
:
Substitua
calculado acima. Se o caso é não-resonante use
e
com
do passo 3; se for o caso ressonante use
e
.
Discussão: aqui o transiente homogêneo tem fator
— decaimento mais “lento” que no sobreamortecido. Longo prazo: novamente
.
Passo 6
Caso subamortecido (
). Defina
e
. A solução geral é
Usando condições iniciais: em
,
A derivada da parte homogênea em
é
. Assim
Novamente
e
são os valores da particular (usar
não-resonante ou
no caso especial). Então os coeficientes
ficam explicitamente em termos de
e dos parâmetros. A solução apresenta oscilações amortecidas (frequência
) que decaem exponencialmente com taxa
. No longo prazo a oscilação some e
.
Passo 7
Resumo didático e comportamento físico:
- Em todos os casos a solução é da forma
onde
é o transiente (dependente das condições iniciais) e
é a particular (força aplicada). Para
o transiente decai com o tempo e a solução tende para o regime estacionário
.
- Se
a parte particular contém um termo em com amplitude . Se (ressonância entre a taxa da força e as raízes do homogêneo) aparece um termo secular (coeficiente ), que altera a forma do transiente, mas ainda decai no tempo se . - Interpretação física:
é o deslocamento estático devido à carga constante . O resto são transientes que descrevem como o sistema se ajusta a essa carga, com amortecimento controlando se há oscilações ou apenas decaimento monotônico.
Resposta
Sobreamortecido (
,
):
onde, se
,
Se
(ressonante), então
com
e os
obtidos resolvendo o sistema com
.
Criticamente amortecido (
,
):
onde
é a particular do passo 3. Em particular, no caso não-resonante use
com
; então
No caso ressonante substitua
por
com
e calcule
de forma análoga.
Subamortecido (
,
,
):
onde
é a particular (não-resonante:
com
, ou ressonante:
). Os coeficientes são