Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com séries geométricas. Precisamos fazer três coisas:
Escrever os 5 primeiros termos da série.
Verificar se a série converge ou diverge.
Se convergir, calcular a soma dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a fórmula geral da série geométrica que temos:
Aqui, cada termo da série é dado por:
Vamos calcular os 5 primeiros termos substituindo por 1, 2, 3, 4 e 5:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Então, os 5 primeiros termos da série são:
Passo 3
Agora, vamos ver se a série converge ou diverge. Como estamos lidando com uma série geométrica, podemos usar a regra:
Uma série geométrica converge se e somente se o valor absoluto da razão $ |r| < 1 $.
Primeiro, identificamos a razão da série. Em uma série geométrica do tipo:
O termo é o primeiro termo e é a razão.
Comparando com a nossa série:
Podemos ver que:
Agora, calculamos o valor absoluto de :
Como $ |r| < 1 $, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, vamos calcular a soma da série infinita. A fórmula para a soma S de uma série geométrica infinita convergente é:
S = a11 - r
Onde:
a1 é o primeiro termo da série.
r é a razão da série.
Já sabemos que:
a1 = 13, r = -23
Substituindo na fórmula:
S = 131 - ( -23 ) = 131 + 23 = 1353 = 15
Resposta
Os 5 primeiros termos da série são $ \frac{1}{3}, \frac{-2}{9}, \frac{4}{27}, \frac{-8}{81}, \frac{16}{243} $. A série converge e sua soma é $ \frac{1}{5} $.