Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma:
sumn=1^infty (-2)^n-13^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente trabalhar com séries geométricas. Precisamos fazer três coisas:
  1. Escrever os 5 primeiros termos da série.
  2. Verificar se a série converge ou diverge.
  3. Se convergir, calcular a soma dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a fórmula geral da série geométrica que temos:
sumn=1^infty (-2)^n-13^n
Aqui, cada termo da série é dado por:
an = (-2)^n-13^n
Vamos calcular os 5 primeiros termos substituindo n por 1, 2, 3, 4 e 5:
  1. Para n = 1:
a1 = (-2)^03^1 = 13
  1. Para n = 2:
a2 = (-2)^13^2 = -29
  1. Para n = 3:
a3 = (-2)^23^3 = 427
  1. Para n = 4:
a4 = (-2)^33^4 = -881
  1. Para n = 5:
a5 = (-2)^43^5 = 16243
Então, os 5 primeiros termos da série são:
13, -29, 427, -881, 16243

Passo 3

Agora, vamos ver se a série converge ou diverge. Como estamos lidando com uma série geométrica, podemos usar a regra:
  • Uma série geométrica converge se e somente se o valor absoluto da razão $ |r| < 1 $.
Primeiro, identificamos a razão |r| < 1 da série. Em uma série geométrica do tipo:
r
O termo sumn=1^infty a1 cdot r^n-1 é o primeiro termo e a1 é a razão.
Comparando com a nossa série:
r
Podemos ver que:
sumn=1^infty (-2)^n-13^n = sumn=1^infty (-23)^n-1 cdot 13
Agora, calculamos o valor absoluto de r = -23 :
r
Como $ |r| < 1 $, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular a soma da série infinita. A fórmula para a soma S de uma série geométrica infinita convergente é:
S = a11 - r
Onde:
  • a1 é o primeiro termo da série.
  • r é a razão da série.
Já sabemos que:
a1 = 13, r = -23
Substituindo na fórmula:
S = 131 - ( -23 ) = 131 + 23 = 1353 = 15

Resposta

Os 5 primeiros termos da série são $ \frac{1}{3}, \frac{-2}{9}, \frac{4}{27}, \frac{-8}{81}, \frac{16}{243} $. A série converge e sua soma é $ \frac{1}{5} $.

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