Utilize o teste da integral ou o teste da p-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=2^infty n-4n^2-2 n+1

Passo 1

Nesse exercício a gente quer saber se a série sumn=2^infty n-4n^2-2n+1 converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é teste de séries infinitas, em especial o teste da p-série.

Passo 2

Perceba que o denominador n^2-2n+1 é um quadrado perfeito. Podemos reescrever:
n^2-2n+1=(n-1)^2 Então o termo geral fica n-4(n-1)^2.

Passo 3

Para simplificar, note que n-4=(n-1)-3. Logo:
n-4(n-1)^2=(n-1)-3(n-1)^2=n-1(n-1)^2-3(n-1)^2=1n-1-3(n-1)^2

Passo 4

Agora a série se separa em duas:
sumn=2^infty1n-1;- 3sumn=2^infty1(n-1)^2
Pela p-série, sum 1/(n-1) é equivalente a sum 1/k com p=1, que diverge, e sum 1/(n-1)^2 é p-série com p=2>1, que converge.

Passo 5

Como a parte divergente ( sum1/(n-1)) não é “anulável” pela parte convergente, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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