Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo:
sumn=0^infty cos (n pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar o critério do termo geral para descobrir se a série sumn=0^infty cos (n pi) é divergente ou se o teste não dá uma resposta conclusiva. Ou seja, vamos usar esse critério para analisar o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o critério do termo geral. Esse critério diz que, se o limite do termo geral an de uma série sum an não for zero, então a série diverge. Se o limite for zero, o teste não conclui se a série converge ou diverge, então a gente precisa de outro método.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, o termo geral é an = cos(n pi). Então, nossa série fica:
sumn=0^infty cos(n pi)

Passo 4

Vamos calcular o limite do termo geral an quando n tende ao infinito:
limn to infty cos(n pi)
Sabemos que cos(n pi) alterna entre 1 e -1 conforme n aumenta, porque:
cos(n pi) = (-1)^n
Então, para n = 0, temos 1; para n = 1, temos -1; para n = 2, volta a 1; e assim por diante. Isso significa que a sequência não tem um limite definido, ela continua alternando entre 1 e -1.

Passo 5

Como o limite de an não existe e, especificamente, não é zero, segundo o critério do termo geral, isso nos diz que a série diverge.

Resposta

A série sumn=0^infty cos(n pi) é divergente pelo critério do termo geral.

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