Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar o critério do termo geral para descobrir se a série
é divergente ou se o teste não dá uma resposta conclusiva. Ou seja, vamos usar esse critério para analisar o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o critério do termo geral. Esse critério diz que, se o limite do termo geral
de uma série
não for zero, então a série diverge. Se o limite for zero, o teste não conclui se a série converge ou diverge, então a gente precisa de outro método.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, o termo geral é
. Então, nossa série fica:
Passo 4
Vamos calcular o limite do termo geral
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
alterna entre 1 e -1 conforme
aumenta, porque:
Então, para
, temos 1; para
, temos -1; para
, volta a 1; e assim por diante. Isso significa que a sequência não tem um limite definido, ela continua alternando entre 1 e -1.
Passo 5
Como o limite de
não existe e, especificamente, não é zero, segundo o critério do termo geral, isso nos diz que a série diverge.
Resposta
A série
é divergente pelo critério do termo geral.