Nos casos a seguir, verifique que \operatorname{Im}(f) \subset \operatorname{Dom}(g) para, assim, determinar a função composta h=g \circ f.
Determine a função f de modo que (g \circ f)(x)=x, \quad \forall x \in D(f)\ , onde:
g(x)=\frac{x+2}{x+1}\

Passo 1

O enunciado pede uma função f tal que
(g\circ f)(x)=x,\quad \forall x\in D(f),
sendo
g(x)=\frac{x+2}{x+1}.
O conteúdo é composição de funções e inversão de g.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio de g: como há divisão por x+1, temos
\Dom(g)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 3

Para que g\circ f seja a identidade em D(f), precisamos que f seja a inversa de g. Logo, façamos
y=\frac{u+2}{u+1}
e invertamos, isto é, expressemos u em função de y.

Passo 4

Multiplicando em ambos os lados por u+1 obtém-se
y\,(u+1)=u+2 \quad\Longrightarrow\quad yu + y = u + 2 \quad\Longrightarrow\quad yu - u = 2 - y
\Longrightarrow\quad u\,(y-1)=2-y \quad\Longrightarrow\quad u=\frac{2-y}{y-1}.
Portanto
f(x)=\frac{2-x}{\,x-1\,}.

Passo 5

O domínio natural de f exige x-1\neq0, ou seja
D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
Além disso, verificamos que f(x)=-1 não ocorre para nenhum x, logo
\Im(f)\subset\mathbb{R}\setminus\{-1\}=\Dom(g), garantindo que g\circ f esteja bem definida.

Resposta

f(x)=\frac{2-x}{x-1}, \quad D(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

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