Considere f uma função par e seja h=g \circ f. Mostre que h é uma função par. E se f for uma função ímpar, pode-se afirmar que h também o será?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é função par e definirmos
h = g \circ f,
então h também é par. Em seguida pergunta se, no caso f for ímpar, podemos afirmar que h será ímpar. Vamos usar as definições de funções par e ímpar e propriedades de composição.

Passo 2

Lembrando que f é par significa
f(-x) = f(x)\quad\text{para todo \(x\)}.
Então, para h(x)=g(f(x)), temos
h(-x) = g\bigl(f(-x)\bigr) = g\bigl(f(x)\bigr) = h(x).
Isso mostra diretamente que h é par.

Passo 3

Agora suponha que f seja ímpar, isto é,
f(-x) = -\,f(x)\quad\text{para todo \(x\)}.
Então
h(-x) = g\bigl(f(-x)\bigr) = g\bigl(-\,f(x)\bigr).
Para que h seja ímpar precisamos de
h(-x) = -\,h(x) = -\,g\bigl(f(x)\bigr).
Portanto a condição necessária é
g\bigl(-y\bigr) = -\,g(y)\quad\text{para \(y=f(x)\)},
ou seja, g teria que ser ímpar.

Passo 4

Sem a hipótese de g ser ímpar, não podemos garantir que h seja ímpar. Por exemplo, tome
f(x)=x\quad(\text{ímpar}),\qquad g(y)=y^2\quad(\text{par}).í
Então
h(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=x^2
é claramente uma função par, não ímpar.

Resposta

Se f é par, então h=g\circ f é sempre par.
Se f é ímpar, não podemos afirmar que h será ímpar, a não ser que g também seja ímpar.

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