Considere
uma função par e seja
. Mostre que
é uma função par. E se
for uma função ímpar, pode-se afirmar que
também o será?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é função par e definirmos
então
também é par. Em seguida pergunta se, no caso
for ímpar, podemos afirmar que
será ímpar. Vamos usar as definições de funções par e ímpar e propriedades de composição.
Passo 2
Lembrando que
é par significa
Então, para
, temos
Isso mostra diretamente que
é par.
Passo 3
Agora suponha que
seja ímpar, isto é,
Então
Para que
seja ímpar precisamos de
Portanto a condição necessária é
ou seja,
teria que ser ímpar.
Passo 4
Sem a hipótese de
ser ímpar, não podemos garantir que
seja ímpar. Por exemplo, tome
Então
é claramente uma função par, não ímpar.
Resposta
Se
é par, então
é sempre par.
Se é ímpar, não podemos afirmar que
será ímpar, a não ser que
também seja ímpar.
Se