Construa uma função
limitada apenas inferiormente e uma função
não limitada nem superior nem inferiormente.
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos de funções reais:
- Uma função
que seja limitada apenas inferiormente (isto é, existe um tal que para todo , mas não há teto superior). - Uma função
que não seja limitada nem superior nem inferiormente (isto é, atinge valores arbitrariamente grandes positivos e negativos conforme se aproxima de ou de ).
Passo 2
Para
, basta escolher algo que toque um valor mínimo, mas cresça sem parar. Por exemplo,
Observamos que para todo
vale
logo
é limitada inferiormente por
. Por outro lado, se
então
, mostrando que não há limite superior para
.
Passo 3
Para
, queremos algo que exploda para
de um lado e para
do outro à medida que
se aproxima dos extremos de
. Um clássico é usar a tangente em escala ajustada:
De fato, quando
temos
e
.
Quando temos
e
. Assim,
não é limitada nem acima nem abaixo.
Quando