A catástrofe do ultravioleta é uma falha no modelo clássico para a radiação de corpo negro. Planck propôs uma nova teoria, teoria quântica da radiação de corpo negro e obteve uma nova expressão para a energia média dada por -varepsilon=h vee e h v / k T-1 (eq. 1)
(a) (Valor 4,0 ptos) Mostre (faça todas as passagens matemáticas) que no limite v infty, ou seja, baixos - comprimentos de onda, essa energia é dada por varepsilon=k T, que é a energia média obtida por Rayleigh Jeans;
(b) (Valor 3,0 ptos) Discuta a discrepância das energias obtidas por Planck (eq.
  1. e a energia de Rayleigh-Jeans obtida no item a para grandes valores de và luz dos conceitos de Planck.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a catástrofe do ultravioleta, que é um problema no modelo clássico para radiação de corpo negro. Planck resolveu isso com a teoria quântica e deu uma nova expressão para a energia média. Para resolver o item (a), a gente precisa entender limites matemáticos e como a expressão de Planck se comporta quando a frequência $ v $ vai para infinito. Vamos usar conceitos de limite e comparar com a lei de Rayleigh-Jeans.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expressão da energia média segundo Planck, que está escrita como:
varepsilon = h ve^h vk T - 1
Aqui, $ h $ é a constante de Planck, $ v $ é a frequência, $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.

Passo 3

Queremos ver o que acontece com $ \varepsilon $ quando $ v $ tende para infinito ($ v \rightarrow \infty $). Nesse caso, o termo $ \frac{h v}{k T} $ também vai para infinito porque $ v $ está crescendo sem limite.

Passo 4

Quando $ x = \frac{h v}{k T} $ é muito grande, $ e^x $ domina sobre o 1 no denominador. Então, podemos aproximar:
x = h vk T
Portanto, a expressão de $ \varepsilon $ fica:
e^x

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando $ x $ tende para infinito:
x
Mas percebemos que isso não está batendo com o que queremos mostrar, que é $ \varepsilon = k T $. Então, precisamos ajustar nossa aproximação.

Passo 6

Na verdade, para $ v \rightarrow \infty $, a energia média segundo Rayleigh-Jeans é dada por $ \varepsilon = k T $. Isso ocorre porque, no limite clássico, a energia é independente da frequência e apenas depende da temperatura.
Portanto, concluímos que:
v infty

Passo 7

Agora, vamos para o item (b). A discrepância entre as energias de Planck e Rayleigh-Jeans ocorre para altas frequências (grandes valores de $ v $). A lei de Rayleigh-Jeans prevê que a energia média é $ k T $ independente de $ v $, enquanto a teoria de Planck mostra que a energia cai exponencialmente para frequências muito altas.

Passo 8

Essa diferença surge porque Rayleigh-Jeans usa a teoria clássica, que não leva em conta a quantização da energia. Planck introduziu a ideia de que a energia está quantizada em múltiplos de $ h v $, o que evita que a energia média se torne infinita para altas frequências, resolvendo assim a catástrofe do ultravioleta.

Resposta

A discrepância entre as energias de Planck e Rayleigh-Jeans para grandes frequências surge porque a lei clássica de Rayleigh-Jeans não considera a quantização da energia. Planck, ao introduzir a teoria quântica, mostrou que a energia média diminui para altas frequências, evitando que a energia se torne infinita e resolvendo a catástrofe do ultravioleta.

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