A catástrofe do ultravioleta é uma falha no modelo clássico para a radiação de corpo negro. Planck propôs uma nova teoria, teoria quântica da radiação de corpo negro e obteve uma nova expressão para a energia média dada por
(eq. 1)
(a) (Valor 4,0 ptos) Mostre (faça todas as passagens matemáticas) que no limite
, ou seja, baixos - comprimentos de onda, essa energia é dada por
, que é a energia média obtida por Rayleigh Jeans;
(b) (Valor 3,0 ptos) Discuta a discrepância das energias obtidas por Planck (eq.
- e a energia de Rayleigh-Jeans obtida no item a para grandes valores de và luz dos conceitos de Planck.
(a) (Valor 4,0 ptos) Mostre (faça todas as passagens matemáticas) que no limite
(b) (Valor 3,0 ptos) Discuta a discrepância das energias obtidas por Planck (eq.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a catástrofe do ultravioleta, que é um problema no modelo clássico para radiação de corpo negro. Planck resolveu isso com a teoria quântica e deu uma nova expressão para a energia média. Para resolver o item (a), a gente precisa entender limites matemáticos e como a expressão de Planck se comporta quando a frequência $ v $ vai para infinito. Vamos usar conceitos de limite e comparar com a lei de Rayleigh-Jeans.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expressão da energia média segundo Planck, que está escrita como:
Aqui, $ h $ é a constante de Planck, $ v $ é a frequência, $ k $ é a constante de Boltzmann e $ T $ é a temperatura.
Passo 3
Queremos ver o que acontece com $ \varepsilon $ quando $ v $ tende para infinito ($ v \rightarrow \infty $). Nesse caso, o termo $ \frac{h v}{k T} $ também vai para infinito porque $ v $ está crescendo sem limite.
Passo 4
Quando $ x = \frac{h v}{k T} $ é muito grande, $ e^x $ domina sobre o 1 no denominador. Então, podemos aproximar:
Portanto, a expressão de $ \varepsilon $ fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando $ x $ tende para infinito:
Mas percebemos que isso não está batendo com o que queremos mostrar, que é $ \varepsilon = k T $. Então, precisamos ajustar nossa aproximação.
Passo 6
Na verdade, para $ v \rightarrow \infty $, a energia média segundo Rayleigh-Jeans é dada por $ \varepsilon = k T $. Isso ocorre porque, no limite clássico, a energia é independente da frequência e apenas depende da temperatura.
Portanto, concluímos que:
Passo 7
Agora, vamos para o item (b). A discrepância entre as energias de Planck e Rayleigh-Jeans ocorre para altas frequências (grandes valores de $ v $). A lei de Rayleigh-Jeans prevê que a energia média é $ k T $ independente de $ v $, enquanto a teoria de Planck mostra que a energia cai exponencialmente para frequências muito altas.
Passo 8
Essa diferença surge porque Rayleigh-Jeans usa a teoria clássica, que não leva em conta a quantização da energia. Planck introduziu a ideia de que a energia está quantizada em múltiplos de $ h v $, o que evita que a energia média se torne infinita para altas frequências, resolvendo assim a catástrofe do ultravioleta.
Resposta
A discrepância entre as energias de Planck e Rayleigh-Jeans para grandes frequências surge porque a lei clássica de Rayleigh-Jeans não considera a quantização da energia. Planck, ao introduzir a teoria quântica, mostrou que a energia média diminui para altas frequências, evitando que a energia se torne infinita e resolvendo a catástrofe do ultravioleta.