Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 8 cm . Sabendo que o perímetro do triângulo é igual a 24 cm , determine o raio da circunferência que o circunscreve.

Passo 1

O enunciado pede o raio da circunferência circunscrita a um triângulo retângulo cujo cateto a mede 8 cm e cujo perímetro é 24 cm. Em um triângulo retângulo vale R = \tfrac{c}{2}, onde c é a hipotenusa. Logo, precisamos determinar c.

Passo 2

Seja a=8 o cateto dado, b o outro cateto e c a hipotenusa. As equações são
a + b + c = 24
c^2 = a^2 + b^2

Passo 3

Da primeira equação, com a=8,
b + c = 24 - 8 = 16 \quad\Longrightarrow\quad c = 16 - b.

Passo 4

Substituindo c = 16 - b em c^2 = a^2 + b^2,
(16 - b)^2 = 8^2 + b^2
256 - 32b + b^2 = 64 + b^2
256 - 32b = 64 \quad\Longrightarrow\quad -32b = -192 \quad\Longrightarrow\quad b = 6.

Passo 5

Com b=6, temos
c = 16 - 6 = 10.
Portanto o raio da circunferência circunscrita é
R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5.

Resposta

5 cm

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