Um cavalo de massa M desloca-se ao longo de uma via horizontal com velocidade Vc. Os coeficientes da via com o caso do cavalo são dados por muD para o dinâmico e muE para o estático. Em um dado momento, o cavalo começa a freiar com aceleração constante at parar.
(a) Encontre as equações de movimento.
(b) Ecnontre todas as forças que atuam no cavalo.
(c) Encontre O trabalho de cada força que atua no cavalo.
(d) Encontre o trabalho resultante.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem um cavalo de massa M que está se movendo numa via horizontal com uma velocidade Vc . A via tem dois coeficientes de atrito: o dinâmico muD e o estático muE . De repente, o cavalo começa a frear com uma aceleração constante até parar.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática para as equações de movimento, dinâmica para identificar as forças envolvidas, e trabalho e energia para calcular o trabalho de cada força e o trabalho total resultante. Bora resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

(a) Encontre as equações de movimento.
Primeiro, vamos entender o que são equações de movimento. Elas relacionam a posição, velocidade e aceleração de um objeto ao longo do tempo. Aqui, o cavalo está freando com uma aceleração constante até parar.
Sabemos que a aceleração a é constante e oposta à direção da velocidade Vc . A equação básica que relaciona velocidade e aceleração é:
Vf = Vi + a cdot t
Onde:
  • Vf é a velocidade final (que é 0, já que o cavalo para),
  • Vi = Vc é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração,
  • t é o tempo.
Como o cavalo para, Vf = 0 , então:
0 = Vc + a cdot t
Resolvendo para t :
t = -Vca
Como a aceleração está oposta à velocidade, a será negativa, então t será positivo.
Além disso, a posição x em função do tempo pode ser encontrada usando:
x(t) = x0 + Vc cdot t + 12 a t^2
Como x0 pode ser zero (vamos considerar o ponto onde ele começa a frear), a equação fica:
x(t) = Vc cdot t + 12 a t^2

Passo 3

(b) Encontre todas as forças que atuam no cavalo.
Agora, vamos identificar todas as forças que estão agindo no cavalo. Quando um objeto está se movendo em uma superfície horizontal, as principais forças envolvidas são:
  1. Peso ( P ): A força da gravidade, que age para baixo e é igual a P = M cdot g , onde g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81 , m/s^2 ).
  2. Força Normal ( N ): A força que a via exerce sobre o cavalo, perpendicular à superfície, atuando para cima. Em movimento horizontal sem elevação, N = P = M cdot g .
  3. Força de Atrito ( Fat ): A força que se opõe ao movimento do cavalo. Como o cavalo está freando, estamos lidando com o atrito dinâmico, então Fat = muD cdot N = muD cdot M cdot g .
  4. Força de Propulsão ou de Frenagem ( F ): A força que o cavalo exerce para frear, que causa a desaceleração.
Então, resumindo, as forças são:
  • Peso ( P )
  • Força Normal ( N )
  • Força de Atrito Dinâmico ( Fat )
  • Força de Frenagem ( F )

Passo 4

(c) Encontre o trabalho de cada força que atua no cavalo.
Vamos calcular o trabalho realizado por cada uma das forças identificadas. O trabalho ( ) é dado por:
Onde:
  • é a força,
  • é o deslocamento,
  • é o ângulo entre a força e o deslocamento.
Vamos analisar cada força:
  1. Peso ( ):
    • A força do peso atua para baixo, enquanto o deslocamento é horizontal.
    • Então, .
    • Como , o trabalho realizado pelo peso é:
  1. Força Normal ( ):
    • A força normal atua para cima, perpendicular ao deslocamento horizontal.
    • Assim, novamente.
    • O trabalho realizado pela força normal é:
  1. Força de Atrito Dinâmico ( ):
    • O atrito atua na direção oposta ao deslocamento.
    • Portanto, .
    • O trabalho realizado pelo atrito é negativo, pois a força e o deslocamento são opostos:
 Onde \(d\) é a distância percorrida até parar.
  1. Força de Frenagem ( ):
    • A força de frenagem é responsável por desacelerar o cavalo, atuando na direção oposta ao deslocamento.
    • Assim, .
    • O trabalho realizado pela força de frenagem é:

Passo 5

(d) Encontre o trabalho resultante.
O trabalho resultante é a soma de todos os trabalhos realizados pelas forças que atuam no cavalo.
Vamos somar os trabalhos calculados:
Wres = WP + WN + Wat + WF
Substituindo os valores encontrados:
Wres = 0 + 0 + (-Fat cdot d) + (-F cdot d) = -Fat cdot d - F cdot d
Fatorando d :
Wres = -d(Fat + F)
Esse é o trabalho total realizado sobre o cavalo durante a frenagem.

Resposta

As equações de movimento são:
0 = Vc + a cdot t e x(t) = Vc cdot t + 12 a t^2
As forças que atuam no cavalo são:
  • Peso ( P = M cdot g )
  • Força Normal ( N = M cdot g )
  • Força de Atrito Dinâmico ( Fat = muD cdot M cdot g )
  • Força de Frenagem ( F )
Os trabalhos realizados por cada força são:
  • WP = 0
  • WN = 0
  • Wat = -muD cdot M cdot g cdot d
  • WF = -F cdot d
O trabalho resultante é:
Wres = -d(Fat + F) = -d(muD cdot M cdot g + F)

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