Considere uma ladeira cuja inclinação com a horizontal é dada por . Um bloco de massa é empurrado da base da ladeira com uma velocidade .
(a) Encontre cada força que atua sobre o bloco.
(b) Encontre a altura máxima atingida pelo bloco.
(c) Encontre o trabalho de cada força atuante sobre o bloco.
(d) Encontre o trabalho da força resultante.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m lançado do pé de uma rampa que faz ângulo beta com a horizontal, com velocidade inicial V. Não há menção a atrito, então vamos assumir rampa sem atrito. Os objetivos são:
– (a) identificar as forças sobre o bloco;
– (b) calcular a altura máxima atingida;
– (c) calcular o trabalho de cada força durante a subida;
– (d) calcular o trabalho da força resultante.

Passo 2

As forças que atuam no bloco são:
– o peso vec P, com módulo P = m,g, atuando verticalmente para baixo;
– a força normal vec N, perpendicular à superfície da rampa, com módulo N = m,gcosbeta.
Não há força de atrito nem outra força aplicada após o impulso inicial.

Passo 3

Para achar a altura máxima hmax use a conservação de energia (ou teorema do trabalho–energia). A energia cinética inicial
Ki = tfrac12,m,V^2
é totalmente convertida em energia potencial gravitacional
Uf = m,g,hmax
Logo,
tfrac12,m,V^2 = m,g,hmax Longrightarrow hmax = V^22,g

Passo 4

Calculemos o trabalho de cada força ao longo da subida até parar:
– Para a normal, o deslocamento é ao longo da rampa e vec Nperp trajetória, então
WN = 0
– Para o peso, o trabalho é
WP = integral vec Pcdot dvec s = -m,g,hmax = -m,g;V^22,g = -tfrac12,m,V^2
– A força de impulso inicial que gerou V agiu num instante anterior à subida; o trabalho total que ela realizou foi exatamente
Wrm emp = +tfrac12,m,V^2,
pois forneceu a energia cinética inicial.

Passo 5

O trabalho da força resultante durante a subida (peso mais normal) coincide com a variação de energia cinética:
Wrm res = De<a K = Kf - Ki = 0 - tfrac12,m,V^2 = -tfrac12,m,V^2

Resposta

(a) As forças são o peso vec P (módulo m,g, vertical para baixo) e a normal vec N (módulo m,gcosbeta, perpendicular à rampa).
(b) hmax = dfracV^22,g.
(c) WN = 0, WP = -tfrac12,m,V^2, Wrm emp = +tfrac12,m,V^2.
(d) Wrm res = -tfrac12,m,V^2.

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