Considere uma calota esférica de raio
. No topo da calota e livre de atrito, uma pessoa de massa
repousa. Caso a pessoa inicie um movimento, encontre:
(a) De que ponto a pessoa perde contato com a calota.
(b) O trabalho de cada força antes de perder contato com a calota.
(a) De que ponto a pessoa perde contato com a calota.
(b) O trabalho de cada força antes de perder contato com a calota.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma calota esférica de raio
e uma pessoa de massa
começando a se mover a partir do topo, sem atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir dois pontos: primeiro, em que posição a pessoa perde o contato com a calota (parte a), e segundo, qual é o trabalho feito por cada força antes disso acontecer (parte b). Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como a segunda lei de Newton, conservação de energia e trabalho das forças.
Passo 2
Vamos começar entendendo quando a pessoa perde contato com a calota. Isso acontece quando a força normal que a calota exerce sobre a pessoa se torna zero. Para descobrir esse ponto, precisamos analisar as forças atuantes na pessoa durante o movimento.
Imagine que a pessoa está descendo pela calota formando um ângulo
com a vertical. As forças que atuam sobre ela são:
- Peso (
): , direcionado para baixo. - Força Normal (
): perpendicular à superfície da calota.
Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (centrípeta), temos:
Onde
é a velocidade da pessoa naquele ponto.
Para encontrar quando a pessoa perde contato, definimos
:
Simplificando:
Agora, precisamos encontrar a expressão para
em função de
. Usamos a conservação da energia. No ponto inicial, toda a energia é potencial, e à medida que a pessoa desce, parte dessa energia se converte em cinética.
A energia potencial no topo é:
No ponto
, a altura é
, então a energia potencial é:
A energia cinética é:
Pela conservação da energia:
Substituindo:
Cancelando
e rearranjando:
Agora, voltando à equação anterior:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Portanto, o ângulo
onde a pessoa perde contato é tal que
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o trabalho feito por cada força antes da pessoa perder o contato.
As forças atuantes são:
- Peso (
): , sempre na direção vertical. - Força Normal (
): Perpendicular à superfície da calota.
Trabalho da força normal (
):
O trabalho (
) é dado por:
Como a força normal é sempre perpendicular ao deslocamento da pessoa na calota, o ângulo entre
e
é
, e o cosseno de
é zero. Portanto:
Trabalho da força peso (
):
O trabalho (
) é dado por:
Como a movimentação ocorre ao longo da calota, apenas a componente da força peso que está na direção do deslocamento realiza trabalho. Isso pode ser calculado como:
Onde
é a altura perdida pela pessoa. Já encontramos que:
Então:
Resposta
(a) A pessoa perde contato com a calota quando o ângulo
satisfaz
.
(b) O trabalho feito pela força normal é zero, e o trabalho feito pela força peso é
.