Considere uma calota esférica de raio R. No topo da calota e livre de atrito, uma pessoa de massa M repousa. Caso a pessoa inicie um movimento, encontre:
(a) De que ponto a pessoa perde contato com a calota.
(b) O trabalho de cada força antes de perder contato com a calota.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma calota esférica de raio R e uma pessoa de massa M começando a se mover a partir do topo, sem atrito. Nosso objetivo aqui é descobrir dois pontos: primeiro, em que posição a pessoa perde o contato com a calota (parte a), e segundo, qual é o trabalho feito por cada força antes disso acontecer (parte b). Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como a segunda lei de Newton, conservação de energia e trabalho das forças.

Passo 2

Vamos começar entendendo quando a pessoa perde contato com a calota. Isso acontece quando a força normal que a calota exerce sobre a pessoa se torna zero. Para descobrir esse ponto, precisamos analisar as forças atuantes na pessoa durante o movimento.
Imagine que a pessoa está descendo pela calota formando um ângulo theta com a vertical. As forças que atuam sobre ela são:
  • Peso ( P): P = M g, direcionado para baixo.
  • Força Normal ( N): perpendicular à superfície da calota.
Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (centrípeta), temos:
N + M g costheta = M v^2R
Onde v é a velocidade da pessoa naquele ponto.
Para encontrar quando a pessoa perde contato, definimos N = 0:
M g costheta = M v^2R
Simplificando:
g costheta = v^2R
Agora, precisamos encontrar a expressão para v em função de theta. Usamos a conservação da energia. No ponto inicial, toda a energia é potencial, e à medida que a pessoa desce, parte dessa energia se converte em cinética.
A energia potencial no topo é:
Ui = M g R
No ponto theta, a altura é h = R costheta, então a energia potencial é:
U = M g R costheta
A energia cinética é:
K = 12 M v^2
Pela conservação da energia:
Ui = U + K
Substituindo:
M g R = M g R costheta + 12 M v^2
Cancelando M e rearranjando:
g R (1 - costheta) = 12 v^2
v^2 = 2 g R (1 - costheta)
Agora, voltando à equação anterior:
g costheta = 2 g R (1 - costheta)R
Simplificando:
g costheta = 2 g (1 - costheta)
Dividindo ambos os lados por g:
costheta = 2 (1 - costheta)
costheta = 2 - 2 costheta
3 costheta = 2
costheta = 23
Portanto, o ângulo theta onde a pessoa perde contato é tal que costheta = 23.

Passo 3

Agora, vamos calcular o trabalho feito por cada força antes da pessoa perder o contato.
As forças atuantes são:
  1. Peso ( P): P = M g, sempre na direção vertical.
  2. Força Normal ( N): Perpendicular à superfície da calota.
Trabalho da força normal ( N):
O trabalho ( WN) é dado por:
WN = integral N cdot ds
Como a força normal é sempre perpendicular ao deslocamento da pessoa na calota, o ângulo entre N e ds é 90^circ, e o cosseno de 90^circ é zero. Portanto:
WN = 0
Trabalho da força peso ( P):
O trabalho ( WP) é dado por:
WP = integral P cdot ds
Como a movimentação ocorre ao longo da calota, apenas a componente da força peso que está na direção do deslocamento realiza trabalho. Isso pode ser calculado como:
WP = M g h
Onde h é a altura perdida pela pessoa. Já encontramos que:
h = R (1 - costheta) = R (1 - 23) = R3
Então:
WP = M g cdot R3 = M g R3

Resposta

(a) A pessoa perde contato com a calota quando o ângulo theta satisfaz costheta = dfrac23.
(b) O trabalho feito pela força normal é zero, e o trabalho feito pela força peso é dfracM g R3.

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