Um bloco de massa M é colocado inicialmente no repouso sobre uma ladeira de inclinação alpha com a horizontal e a uma altura H. Não existe atrito entre o bloco e a ladeira.
(a) Encontre a equação de movimento.
(b) Encontre a equação da trajetória.
(c) Encontre o trabalho de cada força que atua no bloco.
(d) Encontre o trabalho resultante sobre o bloco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um bloco de massa M descansando numa ladeira inclinada com um ângulo alpha e altura H. Não tem atrito entre o bloco e a ladeira, ou seja, o bloco vai deslizar livremente. Vamos usar conceitos de cinemática, dinâmica e trabalho para resolver as quatro partes desse exercício.

Passo 2

(a) Encontrar a equação de movimento.
Primeiro, vamos entender as forças atuando no bloco. Tem a força da gravidade ( Fg) puxando o bloco pra baixo e a força normal ( N) da ladeira que empurra perpendicularmente à superfície.
Como a ladeira está inclinada, a força da gravidade pode ser decomposta em duas componentes:
  • Paralela à ladeira: Fparal<=l = M cdot g cdot sin(alpha)
  • Perpendicular à ladeira: Fperp = M cdot g cdot cos(alpha)
Como não tem atrito, a única força causando aceleração é Fparal<=l. Usando a segunda lei de Newton:
F = M cdot a
Então:
M cdot g cdot sin(alpha) = M cdot a
Podemos simplificar o M dos dois lados:
a = g cdot sin(alpha)
Equação de movimento: a = g cdot sin(alpha)

Passo 3

(b) Encontrar a equação da trajetória.
Sabendo que a aceleração a é constante e igual a g cdot sin(alpha), podemos usar a equação do movimento uniformemente acelerado:
s(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2
Como o bloco parte do repouso, v0 = 0 e s0 = 0. Então:
s(t) = 12 g cdot sin(alpha) cdot t^2
Equação da trajetória: s(t) = 12 g cdot sin(alpha) cdot t^2

Passo 4

(c) Encontrar o trabalho de cada força que atua no bloco.
Temos duas forças principais:
  1. Força da gravidade ( Fg): Já decomponhamos em componentes.
  2. Força normal ( N): Atua perpendicularmente ao deslocamento, então não realiza trabalho.
Vamos calcular o trabalho da força da gravidade. Apenas a componente paralela realiza trabalho:
Wg = Fparal<=l cdot s = M cdot g cdot sin(alpha) cdot s
Onde s é a distância percorrida pelo bloco na ladeira.
Como não há trabalho da força normal:
WN = 0

Passo 5

(d) Encontrar o trabalho resultante sobre o bloco.
O trabalho resultante é a soma dos trabalhos de todas as forças. Como só a força da gravidade realiza trabalho útil:
Wres = Wg + WN = M cdot g cdot sin(alpha) cdot s + 0 = M cdot g cdot sin(alpha) cdot s

Resposta

A equação de movimento é a = g cdot sin(alpha), a equação da trajetória é s(t) = 12 g cdot sin(alpha) cdot t^2, o trabalho realizado pela força da gravidade é Wg = M cdot g cdot sin(alpha) cdot s e o trabalho da força normal é zero. Portanto, o trabalho resultante sobre o bloco é Wres = M cdot g cdot sin(alpha) cdot s.

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