Uma cavidade ressonante consiste de uma casca cilíndrica reta, de raio
e comprimento
. Considerando que
e
, e que as paredes da cavidade são feitas de cobre (
, ou
), obtenha o fator de qualidade
associado ao modo de menor frequência ressonante.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma cavidade ressonante cilíndrica de raio R=2 cm e comprimento L=3 cm, cujas paredes são de cobre (condutividade σ≈6×10^6 S/m). O que pedem é o fator de qualidade Q do modo de menor frequência.
Conteúdo envolvido: ressonadores de onda, modo TM010 (o fundamental em cilindros), frequência de ressonância, teoria do “fator de qualidade” Q (definido como Q=ω·(energia armazenada)/(potência dissipada)), efeito de pele (skin depth) e cálculo aproximado de perdas nas paredes.
Conteúdo envolvido: ressonadores de onda, modo TM010 (o fundamental em cilindros), frequência de ressonância, teoria do “fator de qualidade” Q (definido como Q=ω·(energia armazenada)/(potência dissipada)), efeito de pele (skin depth) e cálculo aproximado de perdas nas paredes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a frequência do modo mais baixo, que no cilindro fechado é o TM₀₁₀.
A condição de ressonância em r exige
k_r R = x_{01}
onde x_{01}=2.405 é o primeiro zero da função Bessel J₀.
Como em TM₀₁₀ não há variação em z, a frequência vale
f_{010} = \frac{c}{2\pi},\frac{x_{01}}{R}
Substituindo c=3×10^8 m/s, R=0.02 m e x_{01}=2.405:
f_{010} = \frac{3×10^8}{2\pi},\frac{2.405}{0.02}
≃ 5.74×10^9 Hz (≈5.7 GHz).
A condição de ressonância em r exige
k_r R = x_{01}
onde x_{01}=2.405 é o primeiro zero da função Bessel J₀.
Como em TM₀₁₀ não há variação em z, a frequência vale
f_{010} = \frac{c}{2\pi},\frac{x_{01}}{R}
Substituindo c=3×10^8 m/s, R=0.02 m e x_{01}=2.405:
f_{010} = \frac{3×10^8}{2\pi},\frac{2.405}{0.02}
≃ 5.74×10^9 Hz (≈5.7 GHz).
Passo 3
Para calcular Q a gente usa a definição
Q = ω;\frac{U}{P_{\rm diss}}
onde U é energia eletromagnética armazenada e P_diss a potência perdida por efeito de pele nas paredes.
Num condutor bom a perda se concentra em uma camada de espessura δ (skin depth):
δ = \sqrt{\frac{2}{ω,μ_0,σ}}
ω = 2π f_{010}, μ_0=4π×10^{–7} H/m, σ=6×10^6 S/m.
Vamos calcular δ:
ω = 2π·5.74×10^9 ≃ 3.61×10^{10} rad/s
δ = √[2/(3.61×10{10}·4π×10{–7}·6×10^6)]
≃ 8.6×10^{–6} m (≈8.6 μm).
Q = ω;\frac{U}{P_{\rm diss}}
onde U é energia eletromagnética armazenada e P_diss a potência perdida por efeito de pele nas paredes.
Num condutor bom a perda se concentra em uma camada de espessura δ (skin depth):
δ = \sqrt{\frac{2}{ω,μ_0,σ}}
ω = 2π f_{010}, μ_0=4π×10^{–7} H/m, σ=6×10^6 S/m.
Vamos calcular δ:
ω = 2π·5.74×10^9 ≃ 3.61×10^{10} rad/s
δ = √[2/(3.61×10{10}·4π×10{–7}·6×10^6)]
≃ 8.6×10^{–6} m (≈8.6 μm).
Passo 4
Extraindo uma fórmula aproximada para Q de um ressonador bom condutor:
P_{\rm diss} ≃ \tfrac12,R_s!\int |H_t|^2 dS,
U ≃ \tfrac14,μ_0!\int |H|^2 dV.
Numa aproximação grosseira (camada fina, H uniforme de ordem de grandeza), a relação vira
Q ≃ \frac{ω μ_0,V}{R_s,S}
e, como R_s=\frac{1}{σ,δ} e ωμ_0=2/(δ^2σ), dá-se
Q ≃ \frac{V}{δ,S}
onde V=volume do cilindro=πR²L e S=área total das paredes=2πRL + 2πR².
Logo
V = π·(0.02)²·0.03 = 3.77×10^{–5} m³
S = 2π·0.02·0.03 + 2π·(0.02)²
= 3.77×10^{–3} + 2.51×10^{–3}
= 6.28×10^{–3} m²
Q ≃ V/(δ·S) = (3.77×10^{–5}) / (8.6×10{–6}·6.28×10{–3})
≃ 700
P_{\rm diss} ≃ \tfrac12,R_s!\int |H_t|^2 dS,
U ≃ \tfrac14,μ_0!\int |H|^2 dV.
Numa aproximação grosseira (camada fina, H uniforme de ordem de grandeza), a relação vira
Q ≃ \frac{ω μ_0,V}{R_s,S}
e, como R_s=\frac{1}{σ,δ} e ωμ_0=2/(δ^2σ), dá-se
Q ≃ \frac{V}{δ,S}
onde V=volume do cilindro=πR²L e S=área total das paredes=2πRL + 2πR².
Logo
V = π·(0.02)²·0.03 = 3.77×10^{–5} m³
S = 2π·0.02·0.03 + 2π·(0.02)²
= 3.77×10^{–3} + 2.51×10^{–3}
= 6.28×10^{–3} m²
Q ≃ V/(δ·S) = (3.77×10^{–5}) / (8.6×10{–6}·6.28×10{–3})
≃ 700
Resposta
O fator de qualidade estimado para o modo TM₀₁₀ nessa cavidade de cobre é cerca de
Q ≃ 7×10^2.
Q ≃ 7×10^2.