Uma cavidade ressonante consiste de uma casca cilíndrica reta, de raio R e comprimento L. Determine as frequências ressonantes da cavidade para os modos TE e TM.

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: temos uma cavidade ressonante em forma de cilindro oco, raio R e comprimento L, e a gente quer achar as frequências de ressonância para os modos TE (onde o campo elétrico longitudinal Ez=0) e TM (onde o campo magnético longitudinal Hz=0).
Conteúdo da matéria: campos eletromagnéticos em cavidades, separação de variáveis em coordenadas cilíndricas, onda estacionária, funções de Bessel e condições de contorno em condutor perfeito.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria geral: em região sem cargas nem correntes, cada componente do campo satisfaz a equação de Helmholtz
nabla^2 Psi + k^2 Psi = 0,
onde Psi(rho,phi,z)=R(rho),Phi(phi),Z(z) pode ser uma componente de ou , e (no vácuo é a velocidade da luz).
Para cavidade cilíndrica, usamos coordenadas e supondo dependência harmônica no tempo , separamos variáveis como
Cada parte satisfaz sua própria equação (radial vira equação de Bessel, angular dá senos e cossenos, longitudinal dá senos ou cossenos em ).

Passo 3

Nos modos TE temos Z(z)=sin!l(ppi,z/Lr), p=0,1,2,dots e trabalhamos com R(rho)=Jm(krho,rho), .
  1. Separação em ddrhoJm(krho,rho)|rho=R=0 Longrightarrow krho,R = x'mn, :
    precisa de onda estacionária entre k^2 = l(x'mn/Rr)^2 + (ppi/L)^2, e omegamnp^rm TE = c, raiz(x'mn/R)^2 + (ppi/L)^2, , então
  2. Separação angular: ou , com .
  3. Separação radial: a parte radial satisfaz a equação de Bessel de ordem , dando onde .
  4. Condição de contorno no cobre ( ): o campo tangencial deve ser zero aí. Isso leva a onde é o -ésimo zero da derivada .
  5. Daí e ou seja

Passo 4

Agora, para TM temos krho,R = xmn, e omegamnp^rm TM = c, raiz(xmn/R)^2 + (ppi/L)^2, . A separação é quase igual, só que a condição de contorno em é , então:
  1. (mesma coisa).
  2. ou .
  3. também.
  4. Condição leva onde é o -ésimo zero de .
  5. Logo

Resposta

As frequências de ressonância no vácuo para modos TE e TM são dadas por:
TE fmnp^rm TE = omegamnp^rm TE2pi = c2pi, raizl(tfracx'mnRr)^!2 + l(tfracppiLr)^!2 :
fmnp^rm TM = omegamnp^rm TM2pi = c2pi, raizl(tfracxmnRr)^!2 + l(tfracppiLr)^!2
TM :
Onde:
  • = -ésimo zero de ;
  • = -ésimo zero de ;
  • , , .

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