Uma cavidade ressonante consiste de uma casca cilíndrica reta, de raio e comprimento . Determine as frequências ressonantes da cavidade para os modos TE e TM.
Passo 1
Beleza, a questão diz o seguinte: temos uma cavidade ressonante em forma de cilindro oco, raio R e comprimento L, e a gente quer achar as frequências de ressonância para os modos TE (onde o campo elétrico longitudinal Ez=0) e TM (onde o campo magnético longitudinal Hz=0).
Conteúdo da matéria: campos eletromagnéticos em cavidades, separação de variáveis em coordenadas cilíndricas, onda estacionária, funções de Bessel e condições de contorno em condutor perfeito.
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria geral: em região sem cargas nem correntes, cada componente do campo satisfaz a equação de Helmholtz
onde pode ser uma componente de ou , e (no vácuo é a velocidade da luz).
Para cavidade cilíndrica, usamos coordenadas e supondo dependência harmônica no tempo , separamos variáveis como
Cada parte satisfaz sua própria equação (radial vira equação de Bessel, angular dá senos e cossenos, longitudinal dá senos ou cossenos em ).
Passo 3
Nos modos TE temos e trabalhamos com .
Separação em :
precisa de onda estacionária entre e , então
Separação angular: ou , com .
Separação radial: a parte radial satisfaz a equação de Bessel de ordem , dandoonde .
Condição de contorno no cobre (): o campo tangencial deve ser zero aí. Isso leva aonde é o -ésimo zero da derivada .
Daí eou seja
Passo 4
Agora, para TM temos krho,R = xmn, e omegamnp^rm TM = c, raiz(xmn/R)^2 + (ppi/L)^2, . A separação é quase igual, só que a condição de contorno em é , então:
(mesma coisa).
ou .
também.
Condição levaonde é o -ésimo zero de .
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Resposta
As frequências de ressonância no vácuo para modos TE e TM são dadas por:
TE fmnp^rm TE = omegamnp^rm TE2pi = c2pi, raizl(tfracx'mnRr)^!2 + l(tfracppiLr)^!2 :