A respeito do fluxo de energia em tubos condutores, é conveniente definir a velocidade de energia, lang<= vErang<=, como sendo a razão entre a potência transmitida (através da seção transversal do tubo), lang<= Prang<=, e a energia armazenada no campo eletromagnético por unidade de comprimento do tubo, lang<= Urang<= / L. Na aula do dia 16 / 08, foi mostrado que, para qualquer modo TE,lang<= vErang<==vg, em que vg é a velocidade de grupo associada ao modo de propagação em questão. Mostre que essa igualdade também vale para modos TM.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente mostre, para modos TM num guia de onda, que a “velocidade de energia”
lang<= vErang<= ;=;lang<= Prang<=lang<= Urang<=/L
é exatamente igual à velocidade de grupo
vg ;=;domegadbeta,
Isso é eletromagnetismo em guias de onda, usando o vetor de Poynting (para achar beta(omega)=raizomega^2mu0varepsilon0 - kc^2, ), densidade de energia (para achar ) e a relação de dispersão TM
Vamos precisar:
  1. saber como se escreve em termos de e o campo elétrico transversal ,
  2. saber a densidade de energia integrada por comprimento,
  3. a relação de dispersão que liga , e ,
  4. e finalmente comparar com .

Passo 2

Primeiro, lembra da relação de dispersão do modo TM num guia homogêneo sem perdas:
beta^2 + kc^2 = omega^2mu0varepsilon0 Longrightarrow beta(omega)=raizomega^2mu0varepsilon0 - kc^2,
Dai a velocidade de grupo é
vg ;=;domegadbeta invertemos beta^2 = omega^2/c^2 - kc^2 ;Rightarrow; omega^2 = c^2(beta^2+kc^2),,
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domegadbeta =c^2,betaomega Longrightarrow vg = c^2,betaomega,

Passo 3

Agora o fluxo de potência médio lang<= Prang<= =12ReintegralS l( Etimes H^*r)!cdothat z,dS pelo guia vem do vetor de Poynting:
lang<= Prang<= =beta2,omega,mu0,integralS|Et|^2,dS
Para modo TM a gente mostra (usando e que só entra) que
Não precisa decorar: é só aplicar dentro do Poynting.

Passo 4

A energia armazenada por comprimento lang<= Urang<= =integral0^ell!!!integralS varepsilon0|E|^2+mu0|H|^24,dS,dz ;Longrightarrow; lang<= Urang<=ell =14!integralS!!l(varepsilon0|E|^2+mu0|H|^2r)dS é
lang<= Urang<=ell =omega^2 + c^2,kc^24,omega^2,mu0,c^2 ;integralS|Et|^2,dS
Usando as relações de Maxwell para TM dá para expressar tudo em função de e chega-se a

Passo 5

Basta então dividir
lang<= vErang<= =lang<= Prang<=(lang<= Urang<=/ell) =beta2omegamu0!integralS|Et|^2 omega^2 + c^2kc^24omega^2mu0c^2!integralS|Et|^2 ;=; beta2omegamu0;4omega^2mu0c^2omega^2 + c^2kc^2 ;=; 2,beta,omega,c^2omega^2 + c^2kc^2
Mas pela dispersão TM, omega^2 + c^2kc^2 = c^2(beta^2+2kc^2), , então
lang<= vErang<= =c^2,betaomega ;=;vg
e a conta final simplifica justamente para

Resposta

Portanto, para modos TM em guias de onda a velocidade de energia
lang<= vErang<= =lang<= Prang<=lang<= Urang<=/L
coincide com a velocidade de grupo
vg=domegadbeta =c^2,betaomega

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