A respeito do fluxo de energia em tubos condutores, é conveniente definir a velocidade de energia,
, como sendo a razão entre a potência transmitida (através da seção transversal do tubo),
, e a energia armazenada no campo eletromagnético por unidade de comprimento do tubo,
. Na aula do dia
, foi mostrado que, para qualquer modo
, em que
é a velocidade de grupo associada ao modo de propagação em questão. Mostre que essa igualdade também vale para modos TM.
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente mostre, para modos TM num guia de onda, que a “velocidade de energia”
é exatamente igual à velocidade de grupo
Isso é eletromagnetismo em guias de onda, usando o vetor de Poynting (para achar
), densidade de energia (para achar
) e a relação de dispersão TM
Vamos precisar:
- saber como se escreve
em termos de e o campo elétrico transversal , - saber a densidade de energia
integrada por comprimento, - a relação de dispersão que liga
, e , - e finalmente comparar com
.
Passo 2
Primeiro, lembra da relação de dispersão do modo TM num guia homogêneo sem perdas:
Dai a velocidade de grupo é
logo
Passo 3
Agora o fluxo de potência médio
pelo guia vem do vetor de Poynting:
Para modo TM a gente mostra (usando
e que só
entra) que
Não precisa decorar: é só aplicar
dentro do Poynting.
Passo 4
A energia armazenada por comprimento
é
Usando as relações de Maxwell para TM dá para expressar tudo em função de
e chega-se a
Passo 5
Basta então dividir
Mas pela dispersão TM,
, então
e a conta final simplifica justamente para
Resposta
Portanto, para modos TM em guias de onda a velocidade de energia
coincide com a velocidade de grupo