a) Se A=[cc0 & 1 -1 & 0], demonstrar que e^t A=[cccos t & sin t -sin t & cos t].
b) Achar a fórmula correspondente para e^t A quando A=[cca & b -b & a], a, b reais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a exponencial de duas matrizes 2times2 usando a definição por série de potências. No item (a)
A = 0 & 1 -1 & 0,
e no item (b)
A = a & b -b & a,
com a,b reais. Vamos usar que
e^tA = sumn=0^inftyt^nn!A^n
e explorar padrões em A^n.

Passo 2

No caso (a), note que
A^2 = 0 & 1 -1 & 0^2 = -1 & 0 0 & -1 = -I
Logo para todo k>=0 vale
A^2k = (-1)^kI, A^2k+1 = (-1)^kA

Passo 3

Substituindo na série de e^tA e separando termos pares e ímpares:
e^tA = sumk=0^inftyt^2k(2k)!A^2k +sumk=0^inftyt^2k+1(2k+1)!A^2k+1 = gl(sumk=0^infty(-1)^k,t^2k(2k)!gr)I +gl(sumk=0^infty(-1)^k,t^2k+1(2k+1)!gr)A
Reconhecemos as séries de cosseno e seno:
sumk=0^infty(-1)^k,t^2k(2k)!=cos t, sumk=0^infty(-1)^k,t^2k+1(2k+1)!=sin t

Passo 4

Portanto em (a)
e^tA = (cos t),I + (sin t),A = cos t & 00&cos t + 0 & sin t -sin t & 0 = cos t & sin t -sin t & cos t

Passo 5

No caso (b), escrevemos
A = a & b -b & a = a,I + b,J, J = 0 & 1 -1 & 0
Como I e J comutam,
e^tA = e^t(aI + bJ) = e^atI,e^btJ = e^at,e^b t J
Mas já sabemos de (a) que
e^b t J = cos(bt) & sin(bt) -sin(bt) & cos(bt)

Passo 6

Logo em (b)
e^tA = e^at,cos(bt) & sin(bt) -sin(bt) & cos(bt) = e^atcos(bt) & e^atsin(bt)[6pt] -,e^atsin(bt) & e^atcos(bt) ]

Resposta

a) e^t = cos t & sin t -sin t & cos t
b) e^t = e^atcos(bt) & e^atsin(bt)[4pt] -,e^atsin(bt) & e^atcos(bt)]

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