a) Se
, demonstrar que
e^t A=[cccos t & sin t -sin t & cos t] .
b) Achar a fórmula correspondente para
e^t A quando
A=[cca & b -b & a] ,
a, b reais.
b) Achar a fórmula correspondente para
Passo 1
O enunciado pede para calcular a exponencial de duas matrizes
2times2 usando a definição por série de potências. No item (a)
e no item (b)
com
a,b reais. Vamos usar que
e explorar padrões em
A^n .
Passo 2
No caso (a), note que
Logo para todo
k>=0 vale
Passo 3
Substituindo na série de
e^tA e separando termos pares e ímpares:
Reconhecemos as séries de cosseno e seno:
Passo 4
Portanto em (a)
Passo 5
No caso (b), escrevemos
Como
I e
J comutam,
Mas já sabemos de (a) que
Passo 6
Logo em (b)
Resposta
a)
e^t = cos t & sin t -sin t & cos t
b)
e^t = e^atcos(bt) & e^atsin(bt)[4pt] -,e^atsin(bt) & e^atcos(bt) ]