Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=(sen x^2)^4 x

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de
f(x) = (sin(x^2))^4x
O conteúdo aqui é a diferenciação de uma função da forma g(x)^h(x). Para resolver, vamos usar log-diferenciação, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos y = f(x) = (sin(x^2))^4x e aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Assim,
ln(y) = 4x ,lnl(sin(x^2)r)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. À esquerda, pela regra da cadeia,
1y,dydx = y'y
À direita, usamos a regra do produto em 4xcdotln(sin(x^2)):
  • A derivada de 4x é 4, multiplicada por ln(sin(x^2)).
  • Mais 4x vezes a derivada de ln(sin(x^2)), que pela regra da cadeia é
ddxln(sin(x^2)) = 1sin(x^2)cdotcos(x^2)cdot 2x = 2x,cot(x^2)
Somando, obtemos
y'y = 4lnl(sin(x^2)r) + 4xcdot2x,cot(x^2) = 4lnl(sin(x^2)r) + 8x^2,cot(x^2)

Passo 4

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y:
y' = yl(4ln(sin(x^2)) + 8x^2cot(x^2)r) = (sin(x^2))^4xl(4ln(sin(x^2)) + 8x^2cot(x^2)r)

Resposta

f'(x) = (sin(x^2))^4xl(4ln(sin(x^2)) + 8x^2cot(x^2)r)

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