Exercício 2.1.1. Calcule as integrais, utilizando o método da substituição trigonométrica:
Ib=integral d xraiz81-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ib = integral dxraiz81 - x^2
usando o método de substituição trigonométrica. Esse tipo de integral é padrão para raízes da forma raiza^2-x^2, cuja primitiva é um arco seno.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 9 sintheta,
de onde
dx = 9 costheta,dtheta e raiz81 - x^2 = raiz81 - 81sin^2theta = 9costheta
Substituindo na integral, temos
integral dxraiz81 - x^2 = integral 9costheta,dtheta9costheta = integral dtheta

Passo 3

A integral de dtheta é imediata:
integral dtheta = theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Voltemos à variável x. Como x = 9sintheta, temos
theta = arcsin!l(tfracx9r)
Logo a primitiva original é
Ib = arcsin!l(tfracx9r) + C

Resposta

Ib = arcsin!l(tfracx9r) + C

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