Se A=[ccc0 & -1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0], expressar e^t A como combinação linear de I, A, A^2.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & -1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0
e pede e^tA como combinação linear de I, A e A^2. O conteúdo aqui é a definição de exponencial de matriz via série de potências, ou seja
e^tA = sumk=0^infty (tA)^kk!
Para usar essa série numérica, precisamos calcular A^2 e verificar se alguma potência de A anula (por exemplo A^3=0), o que faria a série truncar.

Passo 2

Calcular A^2. Multiplicando A por ela mesma:
A^2 = 0 & -1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & -1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 = -1 & 0 & -1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 1

Passo 3

Calcular A^3. Como
A^3 = Acdot A^2
e multiplicando verifica-se que todas as entradas ficam zero. Logo
A^3 = 0

Passo 4

Pela definição em série,
e^tA = I + tA + (tA)^22! + (tA)^33! + cdots
Mas A^3=0 faz com que todos os termos de ordem >=3 sejam nulos. Então a série truncada é
e^tA = I + tA + t^22,A^2

Resposta

e^tA = I + t,A + t^22,A^2

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