Exercício 2.2.1. Calcule as integrais:
Ia=integral 3 x-1x^2-x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 3x - 1x^2 - x + 1,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional com denominador quadrático; vamos usar a técnica de decompor o numerador em múltiplo da derivada do denominador mais constante e, depois, completar o quadrado para a parte que gera arco-tangente.

Passo 2

Derivada do denominador (x^2 - x + 1) é
ddx(x^2 - x + 1) = 2x - 1
Procuramos constantes A e B tais que
3x - 1 = A,(2x - 1) + B
Comparando coeficientes:
2A = 3, -A + B = -1
resulta em
A = tfrac32, B = tfrac12

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 3x - 1x^2 - x + 1,dx = 32integral 2x - 1x^2 - x + 1,dx + 12integral 1x^2 - x + 1,dx

Passo 4

A primeira integral é imediata:
integral 2x - 1x^2 - x + 1,dx = lnl(x^2 - x + 1r)
Para a segunda, completamos o quadrado:
x^2 - x + 1 = l(x - tfrac12r)^2 + l(tfracraiz32r)^2,
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integral 1(x-12)^2 + (raiz32)^2,dx = 2raiz3,arctan!l(x-tfrac12tfracraiz32r) = 2raiz3,arctan!l(2x - 1raiz3r)

Passo 5

Juntando tudo:
integral 3x - 1x^2 - x + 1,dx = 32lnl(x^2 - x + 1r) + 12cdot2raiz3,arctan!l(2x - 1raiz3r) + C = 32lnl(x^2 - x + 1r) + 1raiz3,arctan!l(2x - 1raiz3r) + C

Resposta

integral 3x - 1x^2 - x + 1,dx = 32lnl(x^2 - x + 1r) + 1raiz3,arctan!l(2x - 1raiz3r) + C

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