Calcule as seguintes integrais:
20) integral x+1raiz12-2 x-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x+1raiz12 - 2x - x^2 , dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de completar o quadrado na expressão quadrática sob a raiz e depois usar uma substituição adequada para reduzir a integral a uma forma padrão.

Passo 2

Vamos reescrever o radicando 12 - 2x - x^2 completando o quadrado. Observamos que
12 - 2x - x^2 = 13 - l(x^2 + 2x + 1r) = 13 - (x+1)^2
Logo a integral vira
integral x+1raiz13 - (x+1)^2 , dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x + 1, du = dx
Então a integral fica
integral uraiz13 - u^2 , du

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão
integral uraiza^2 - u^2,du = -raiza^2 - u^2 + C
Aqui a^2 = 13. Aplicando, obtemos
integral uraiz13 - u^2,du = -raiz13 - u^2 + C

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = x+1, então
-raiz13 - u^2 + C = -raiz13 - (x+1)^2 + C = -raiz12 - 2x - x^2 + C

Resposta

integral x+1raiz12 - 2x - x^2 , dx = -raiz12 - 2x - x^2 + C

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