Se p(x^2-1) cdot(x^2+1)+q(x+2)^2+r(x-1)^2==2 x^4-4 x^2+2 x-9, então o valor de q é:

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de q na identidade polinomial
p(x^2-1)(x^2+1) ;+ q(x+2)^2 ;+ r(x-1)^2 = 2x^4 -4x^2 +2x -9
O conteúdo envolve usar identidade de polinômio e igualar coeficientes para encontrar as constantes.

Passo 2

Vamos expandir cada termo do lado esquerdo:
p(x^2-1)(x^2+1) = p(x^4 -1),
q(x+2)^2 = q(x^2 +4x +4),
r(x-1)^2 = r(x^2 -2x +1)

Passo 3

Somando os termos expandidos, o lado esquerdo fica:
p x^4 + (q+r)x^2 + (4q -2r)x + (-p +4q +r)
Comparando com o polinômio do lado direito
2x^4 -4x^2 +2x -9
obtemos o sistema de equações nos coeficientes:
p = 2, q + r = -4, 4q -2r = 2, -p +4q +r = -9

Passo 4

Da primeira equação vem p=2. Substituindo isso na última equação:
-2 +4q +r = -9 implies 4q +r = -7
Como também temos q+r = -4, tiremos r = -4 -q e substituímos em 4q +r = -7:
4q +(-4 -q) = -7 implies 3q -4 = -7 implies 3q = -3 implies q = -1

Resposta

q = -1

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