Calcule a integral por meio da mudança de variáveis indicada:
integral duplaE x-3 y d A onde E é o interior da elipse x^24+y^29=1 cuja transformação é lx=2 u y=3 v.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla integral duplaE (x - 3y) , dA, onde E é a região interior da elipse dada pela equação x^24 + y^29 = 1. Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que transforma essa elipse em um círculo mais fácil de trabalhar. As transformações que vamos usar são:
x = 2u y = 3v
Assim, precisamos entender como essa transformação afeta a integral e a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos achar como a região E fica no novo sistema de coordenadas (u, v). Substituindo x = 2u e y = 3v na equação da elipse:
(2u)^24 + (3v)^29 = 4u^24 + 9v^29 = u^2 + v^2 = 1
Então, no sistema (u, v), a região E se transforma no interior do círculo unitário u^2 + v^2 <= 1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano nos diz como a área muda quando fazemos a mudança de variáveis. As derivadas parciais são:
partial xpartial u = 2, partial xpartial v = 0, partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 3
Então, o jacobiano J é:
J = 2 & 0 0 & 3 = (2)(3) - (0)(0) = 6
Isso significa que dA = |J| , du , dv = 6 , du , dv.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original na nova coordenada. A função que estamos integrando é x - 3y. Substituindo x = 2u e y = 3v:
x - 3y = 2u - 3(3v) = 2u - 9v
Agora, a integral fica:
integral duplaE (x - 3y) , dA = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (2u - 9v) cdot 6 , du , dv = 6 integral duplau^2 + v^2 <= 1 (2u - 9v) , du , dv

Passo 5

Vamos avaliar essa integral. Observamos que estamos integrando funções ímpares ( u e v) sobre uma região simétrica em torno da origem (o círculo unitário). Nessas condições, as integrais de funções ímpares sobre regiões simétricas resultam em zero:
integral duplau^2 + v^2 <= 1 2u , du , dv = 0 e integral duplau^2 + v^2 <= 1 (-9v) , du , dv = 0
Portanto, a integral total é:
6 times 0 = 0

Resposta

A integral dupla integral duplaE (x - 3y) , dA é igual a 0.

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