Calcule a integral por meio da mudança de variáveis indicada: onde é o interior da elipse cuja transformação é .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde é a região interior da elipse dada pela equação . Para resolver isso, vamos usar uma mudança de variáveis que transforma essa elipse em um círculo mais fácil de trabalhar. As transformações que vamos usar são:
Assim, precisamos entender como essa transformação afeta a integral e a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos achar como a região fica no novo sistema de coordenadas . Substituindo e na equação da elipse:
Então, no sistema , a região se transforma no interior do círculo unitário .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O jacobiano nos diz como a área muda quando fazemos a mudança de variáveis. As derivadas parciais são:
Então, o jacobiano é:
Isso significa que dA = |J| , du , dv = 6 , du , dv.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original na nova coordenada. A função que estamos integrando é x - 3y. Substituindo x = 2u e y = 3v:
x - 3y = 2u - 3(3v) = 2u - 9v
Agora, a integral fica:
integral duplaE (x - 3y) , dA = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (2u - 9v) cdot 6 , du , dv = 6 integral duplau^2 + v^2 <= 1 (2u - 9v) , du , dv
Passo 5
Vamos avaliar essa integral. Observamos que estamos integrando funções ímpares (u e v) sobre uma região simétrica em torno da origem (o círculo unitário). Nessas condições, as integrais de funções ímpares sobre regiões simétricas resultam em zero:
integral duplau^2 + v^2 <= 1 2u , du , dv = 0 e integral duplau^2 + v^2 <= 1 (-9v) , du , dv = 0
Portanto, a integral total é:
6 times 0 = 0
Resposta
A integral dupla integral duplaE (x - 3y) , dA é igual a 0.