Calcule os Jacobinos partial(x, y)partial(u, v) associados às seguinte mudança de variáveis:
lx=u^2+v y=u+v^2;

Passo 1

Temos a mudança de variáveis dada por
x = u^2 + v, y = u + v^2
O conteúdo aqui é o cálculo do Jacobiano (determinante da matriz das derivadas parciais). Vamos precisar das derivadas parciais de x e y em relação a u e v.

Passo 2

O Jacobiano partial(x,y)partial(u,v) é definido como o determinante da matriz
J = det partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Ou seja, para uma matriz 2×2 o determinante é dado por ad - bc.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais mantendo a outra variável constante:
partial xpartial u = 2u, partial xpartial v = 1, partial ypartial u = 1, partial ypartial v = 2v

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do determinante temos:
J = partial xpartial u cdot partial ypartial v - partial xpartial v cdot partial ypartial u = (2u)cdot(2v) - (1)cdot(1) = 4uv - 1

Resposta

partial(x,y)partial(u,v) = 4uv - 1

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