Se g(x)=e^x cdot tg x2 f(x), então o valor de g^prime(0) é:
Escolha uma opção:
a. -12
b. 0
c. 12 f^prime(0)
d. 14
e. -14

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor da derivada de $ g(x) = \frac{e^{x} \cdot \operatorname{tg} x}{2 f(x)} $ quando $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas e algumas regras de cálculo, como a regra do quociente e a regra do produto. Também precisaremos saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em um ponto específico. No nosso caso, queremos saber como $ g(x) $ está mudando exatamente em $ x = 0 $.

Passo 3

A função $ g(x) $ é uma fração onde o numerador é $ e^{x} \cdot \operatorname{tg} x $ e o denominador é $ 2 f(x) $. Para encontrar a derivada de $ g(x) $, vamos aplicar a regra do quociente, que nos diz que:
g(x)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas no numerador:
  1. A derivada de $ e^{x} \cdot \operatorname{tg} x $ usa a regra do produto:
e^x cdot tg x
Onde $ \operatorname{sg}(x) $ é a secante ao quadrado, que é a derivada de $ \operatorname{tg} x $.
  1. A derivada de $ 2 f(x) $ é simplesmente $ 2 f’(x) $.

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas expressões em $ x = 0 $:
  • Sabemos que $ \operatorname{tg}(0) = 0 $ e $ \operatorname{sg}(0) = 1 $.
  • $ e^{0} = 1 $.
Substituindo na expressão da derivada:
x = 0

Passo 6

Mas, olhando as opções disponíveis, não temos $ \frac{1}{2 f(0)} $. Isso sugere que $ f(0) = 0 $. Quando $ f(0) = 0 $, a função original $ g(x) $ pode ser indeterminada, e precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 7

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx to 0 e^x cdot tg x2 f(x) = limx to 0 [e^x cdot tg x]'[2 f(x)]' = limx to 0 e^x cdot tg x + e^x cdot sg(x)^22 f'(x)
Substituindo $ x = 0 $:
x = 0

Passo 8

Isso significa que $ g’(0) = \frac{1}{2 f’(0)} $, que corresponde à alternativa c.

Resposta

A alternativa correta é a c. $ \frac{1}{2 f^{\prime}(0)} $.

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