Se
, então o valor de
é:
Escolha uma opção:
a.
b. 0
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b. 0
c.
d.
e.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor da derivada de $ g(x) = \frac{e^{x} \cdot \operatorname{tg} x}{2 f(x)} $ quando $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas e algumas regras de cálculo, como a regra do quociente e a regra do produto. Também precisaremos saber como derivar funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em um ponto específico. No nosso caso, queremos saber como $ g(x) $ está mudando exatamente em $ x = 0 $.
Passo 3
A função $ g(x) $ é uma fração onde o numerador é $ e^{x} \cdot \operatorname{tg} x $ e o denominador é $ 2 f(x) $. Para encontrar a derivada de $ g(x) $, vamos aplicar a regra do quociente, que nos diz que:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas no numerador:
- A derivada de $ e^{x} \cdot \operatorname{tg} x $ usa a regra do produto:
Onde $ \operatorname{sg}(x) $ é a secante ao quadrado, que é a derivada de $ \operatorname{tg} x $.
- A derivada de $ 2 f(x) $ é simplesmente $ 2 f’(x) $.
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas expressões em $ x = 0 $:
- Sabemos que $ \operatorname{tg}(0) = 0 $ e $ \operatorname{sg}(0) = 1 $.
- $ e^{0} = 1 $.
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 6
Mas, olhando as opções disponíveis, não temos $ \frac{1}{2 f(0)} $. Isso sugere que $ f(0) = 0 $. Quando $ f(0) = 0 $, a função original $ g(x) $ pode ser indeterminada, e precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.
Passo 7
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Substituindo $ x = 0 $:
Passo 8
Isso significa que $ g’(0) = \frac{1}{2 f’(0)} $, que corresponde à alternativa c.
Resposta
A alternativa correta é a c. $ \frac{1}{2 f^{\prime}(0)} $.