i.
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ii.
é bijetora.
iii.
é crescente e
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Podemos concluir que:
ii.
iii.
Podemos concluir que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá três informações sobre uma função $ f $:
- $ f(x + y) = f(x) \cdot f(y) $ para todos $ x, y \in \mathbb{R} $.
- $ f $ é bijetora (ou seja, é uma função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora).
- $ f $ é crescente e mapeia o intervalo $ ]0, +\infty[ $ para $ ]-3, 0[ $.
Nosso objetivo é, a partir dessas informações, concluir algo sobre a função $ f $. Para resolver isso, vamos passo a passo entender cada parte e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira condição: $ f(x + y) = f(x) \cdot f(y) $. Essa é uma equação funcional conhecida, e uma das funções que satisfazem essa relação são as funções exponenciais. Ou seja, funções da forma $ f(x) = e^{kx} $, onde $ k $ é uma constante. Mas vamos detalhar isso melhor.
Passo 3
Sabemos que se $ f $ satisfaz $ f(x + y) = f(x) \cdot f(y) $, então $ f(0) = 1 $, porque $ f(0) = f(0 + 0) = f(0) \cdot f(0) $, o que só é possível se $ f(0) = 1 $.
Também, tomando derivadas se $ f $ for diferenciável, teríamos $ f’(x) = k f(x) $, indicando uma função exponencial. Mas mesmo sem cálculo, sabemos que funções que transformam soma em produto geralmente são exponenciais.
Passo 4
Agora, a segunda condição diz que $ f $ é bijetora. Isso significa que:
- Injetora: Função não repete valores, ou seja, $ f(x_1) = f(x_2) $ implica $ x_1 = x_2 $.
- Sobrejetora: Todo valor do conjunto imagem é atingido por algum $ x $ no domínio.
Com isso, sabemos que nossa função exponencial não pode ser a típica $ e^{kx} $ pois, por exemplo, $ e^{kx} $ mapeia para $ (0, +\infty) $, mas aqui a imagem em $ ]0, +\infty[ $ é $ ]-3, 0[ $, então precisamos ajustar isso.
Passo 5
A terceira condição nos diz que $ f $ é crescente e que $ f $ mapeia $ ]0, +\infty[ $ para $ ]-3, 0[ $. Isso sugere que a função está diminuindo à medida que $ x $ aumenta, o que indicaria que a constante $ k $ na exponencial seria negativa. Além disso, os valores de $ f(x) $ estão entre -3 e 0.
Passo 6
Então, vamos propor uma função da forma $ f(x) = -A e^{-kx} $, onde $ A > 0 $ e $ k > 0 $. Essa função será crescente porque o expoente negativo faz com que $ f(x) $ aumente conforme $ x $ aumenta, já que $ e^{-kx} $ diminui e o sinal negativo inverte.
Para satisfazer a condição de que $ f(0) = 1 $, temos:
$ f(0) = -A e^{0} = -A = 1 $ → $ A = -1 $.
Mas $ A > 0 $, então na verdade, $ f(x) = -3 e^{-kx} $, para que, quando $ x \to +\infty $, $ f(x) \to -3 $.
Passo 7
Acho que o ajuste correto seria $ f(x) = -3 e^{-kx} $. Vamos verificar se isso satisfaz todas as condições:
- $ f(x + y) = -3 e^{-k(x + y)} = (-3 e^{-kx}) \cdot (-3 e^{-ky}) = f(x) \cdot f(y) $ → Precisamos que $ (-3) \cdot (-3) = -3 $, o que não é o caso. Então, precisamos ajustar.
Na verdade, a constante deve ser 1, então $ f(x) = -e^{-kx} $. Vamos testar:
$ f(x + y) = -e^{-k(x + y)} = (-e^{-kx}) \cdot (-e^{-ky}) = e^{-kx -ky} $, que não satisfaz $ f(x) \cdot f(y) = (-e^{-kx}) \cdot (-e^{-ky}) = e^{-k(x+y)} $.
Então, para que $ f(x + y) = f(x) \cdot f(y) $, precisamos que $ f(x) = e^{kx} $. Mas isso mapeia para $ (0, +\infty) $, não para $ ]-3, 0[ $.
Talvez devamos considerar uma função do tipo $ f(x) = -3 e^{kx} $. Vamos verificar:
$ f(x + y) = -3 e^{k(x + y)} = (-3 e^{kx}) \cdot (-3 e^{ky}) = 9 e^{k(x+y)} $, o que não satisfaz a condição.
Parece que há uma inconsistência, então precisamos considerar outra abordagem.
Passo 8
Vamos considerar que $ f $ é uma função linear. Mas de $ f(x + y) = f(x) \cdot f(y) $, isso sugere que $ f $ não é linear, mas exponencial.
Para $ f $ ser bijetora e mapeando $ ]0, +\infty[ $ para $ ]-3, 0[ $, precisamos que $ f(x) $ seja estritamente crescente e que $ f(x) $ tenda a 0 quando $ x \to +\infty $.
Isso ocorre se $ f(x) = -3 e^{-kx} $, onde $ k > 0 $. Vamos verificar:
$ f(x + y) = -3 e^{-k(x + y)} = (-3 e^{-kx}) \cdot (-3 e^{-ky}) = 9 e^{-k(x+y)} $, que não satisfaz $ f(x + y) = f(x) \cdot f(y) $.
Portanto, devemos concluir que não existe uma função que satisfaça todas essas condições simultaneamente, a menos que reconsideremos as possibilidades.
Resposta
Após analisar as condições dadas, concluímos que não existe uma função $ f $ que satisfaça simultaneamente todas as propriedades mencionadas. As restrições impostas pelo enunciado são conflitantes, tornando impossível a existência de tal função.