Nome da Tarefa:
Trabalho INDIVIDUAL - 3pts
Descrição:
Pesquise sobre o elipsoide (descreva sua equação cartesiana), e use o Princípio de Cavalieri apresentado na aula de ontem (26/03/2025), para mostrar que o volume do elipsoide de semieixos a, b e c é (4 / 3) pi a b c.
Entregar na aula de amanhã (sexta-feira 28/03/2025).
OBS.: A organização/apresentação visual do trabalho escrito será considerada na nota!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente pesquisar sobre o elipsoide, descrever sua equação cartesiana e usar o Princípio de Cavalieri para mostrar que o volume do elipsoide com semieixos a, b e c é 43 pi a b c. Isso envolve geometria tridimensional e cálculo de volumes, então vamos precisar entender a equação do elipsoide e o que é o Princípio de Cavalieri.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o elipsoide. Um elipsoide é uma superfície tridimensional onde todos os pontos satisfazem uma determinada equação. A equação cartesiana de um elipsoide com semieixos a, b e c nas direções x, y e z respectivamente é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Isso significa que qualquer ponto (x, y, z) que satisfaz essa equação está na superfície do elipsoide.

Passo 3

Agora, vamos entender o Princípio de Cavalieri. Esse princípio diz que se duas figuras sólidas têm a mesma altura e, em cada nível de altura, as áreas das seções transversais são iguais, então os volumes dessas figuras são iguais. Para aplicar isso, vamos comparar o elipsoide com uma esfera cujo volume já conhecemos.

Passo 4

Sabemos que o volume de uma esfera de raio r é 43 pi r^3. Vamos imaginar uma esfera escalada para ter os mesmos semieixos a, b e c do elipsoide. A ideia é que, ao escalar a esfera nessas três direções, a sua seção em qualquer altura será proporcional à seção do elipsoide correspondente.

Passo 5

Aplicando o Princípio de Cavalieri, como as seções transversais do elipsoide são escaladas proporcionalmente às da esfera, os volumes também serão proporcionais. Portanto, o volume do elipsoide será o volume da esfera multiplicado pelos fatores de escala nas três direções, ou seja, a, b e c.

Passo 6

Calculando isso, temos:
Volume do elipsoide = 43 pi r^3 times a times b times c
Como estamos escalando uma esfera de raio 1, r = 1, então:
Volume do elipsoide = 43 pi a b c

Resposta

O volume do elipsoide com semieixos a, b e c é 43 pi a b c.

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