Nome da Tarefa:
Trabalho INDIVIDUAL - 3pts
Descrição:
Pesquise sobre o elipsoide (descreva sua equação cartesiana), e use o Princípio de Cavalieri apresentado na aula de ontem (26/03/2025), para mostrar que o volume do elipsoide de semieixos
e c é
.
Entregar na aula de amanhã (sexta-feira 28/03/2025).
OBS.: A organização/apresentação visual do trabalho escrito será considerada na nota!
Trabalho INDIVIDUAL - 3pts
Descrição:
Pesquise sobre o elipsoide (descreva sua equação cartesiana), e use o Princípio de Cavalieri apresentado na aula de ontem (26/03/2025), para mostrar que o volume do elipsoide de semieixos
Entregar na aula de amanhã (sexta-feira 28/03/2025).
OBS.: A organização/apresentação visual do trabalho escrito será considerada na nota!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente pesquisar sobre o elipsoide, descrever sua equação cartesiana e usar o Princípio de Cavalieri para mostrar que o volume do elipsoide com semieixos
,
e
é
. Isso envolve geometria tridimensional e cálculo de volumes, então vamos precisar entender a equação do elipsoide e o que é o Princípio de Cavalieri.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o elipsoide. Um elipsoide é uma superfície tridimensional onde todos os pontos satisfazem uma determinada equação. A equação cartesiana de um elipsoide com semieixos
,
e
nas direções
,
e
respectivamente é:
Isso significa que qualquer ponto
que satisfaz essa equação está na superfície do elipsoide.
Passo 3
Agora, vamos entender o Princípio de Cavalieri. Esse princípio diz que se duas figuras sólidas têm a mesma altura e, em cada nível de altura, as áreas das seções transversais são iguais, então os volumes dessas figuras são iguais. Para aplicar isso, vamos comparar o elipsoide com uma esfera cujo volume já conhecemos.
Passo 4
Sabemos que o volume de uma esfera de raio
é
. Vamos imaginar uma esfera escalada para ter os mesmos semieixos
,
e
do elipsoide. A ideia é que, ao escalar a esfera nessas três direções, a sua seção em qualquer altura será proporcional à seção do elipsoide correspondente.
Passo 5
Aplicando o Princípio de Cavalieri, como as seções transversais do elipsoide são escaladas proporcionalmente às da esfera, os volumes também serão proporcionais. Portanto, o volume do elipsoide será o volume da esfera multiplicado pelos fatores de escala nas três direções, ou seja,
,
e
.
Passo 6
Calculando isso, temos:
Como estamos escalando uma esfera de raio 1,
, então:
Resposta
O volume do elipsoide com semieixos
,
e
é
.