Monte a integral do Tipo II que determina o volume do sólido
que:
(i) está abaixo do paraboloide
;
(ii) acima da região
do plano
limitada por
(i) está abaixo do paraboloide
(ii) acima da região
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa montar uma integral do Tipo II para calcular o volume do sólido $ S $ que está abaixo do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e acima da região $ D $ no plano $ xy $ limitada pelas curvas $ y = 2x $ e $ y = x^{2} $. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e a função que vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ D $ no plano $ xy $. As curvas que limitam $ D $ são $ y = 2x $ e $ y = x^{2} $. Para entender onde elas se intersectam, vamos igualar as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as interseções são nos pontos $ (0,0) $ e $ (2,4) $.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual das duas curvas está acima ou abaixo na região $ D $. Para um valor de $ x $ entre 0 e 2, por exemplo, $ x = 1 $:
Então, $ y = 2x $ está acima de $ y = x^{2} $ nessa faixa de $ x $. Isso significa que, para cada $ x $, $ y $ varia de $ y = x^{2} $ até $ y = 2x $.
Passo 4
Com isso, podemos estabelecer os limites de integração para uma integral do Tipo II, onde integramos primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $:
Aqui, $ f(x,y) $ representa a função que descreve a altura do sólido, que no nosso caso é $ z = x^{2} + y^{2} $.
Passo 5
Portanto, para encontrar o volume $ V $ do sólido $ S $, a integral fica assim:
Resposta
A integral do Tipo II que determina o volume do sólido $ S $ é: