Monte a integral do Tipo II que determina o volume do sólido S que:
(i) está abaixo do paraboloide z=x^2+y^2;
(ii) acima da região D do plano x y limitada por

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa montar uma integral do Tipo II para calcular o volume do sólido $ S $ que está abaixo do paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ e acima da região $ D $ no plano $ xy $ limitada pelas curvas $ y = 2x $ e $ y = x^{2} $. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e a função que vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região $ D $ no plano $ xy $. As curvas que limitam $ D $ são $ y = 2x $ e $ y = x^{2} $. Para entender onde elas se intersectam, vamos igualar as duas equações:
D
Resolvendo essa equação:
xy
Então, as interseções são nos pontos $ (0,0) $ e $ (2,4) $.

Passo 3

Agora, vamos determinar qual das duas curvas está acima ou abaixo na região $ D $. Para um valor de $ x $ entre 0 e 2, por exemplo, $ x = 1 $:
D
Então, $ y = 2x $ está acima de $ y = x^{2} $ nessa faixa de $ x $. Isso significa que, para cada $ x $, $ y $ varia de $ y = x^{2} $ até $ y = 2x $.

Passo 4

Com isso, podemos estabelecer os limites de integração para uma integral do Tipo II, onde integramos primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $:
y
Aqui, $ f(x,y) $ representa a função que descreve a altura do sólido, que no nosso caso é $ z = x^{2} + y^{2} $.

Passo 5

Portanto, para encontrar o volume $ V $ do sólido $ S $, a integral fica assim:
V

Resposta

A integral do Tipo II que determina o volume do sólido $ S $ é:
S

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